几类非线性微（积）分系统解的定性分析

论文摘要

众所周知,非线性微（积）分方程在微分几何、应用科学和流体力学等领域中都发挥着至关重要的作用,尽管对非线性系统的完全求解是非常困难的,但是针对一些比较特殊的非线性系统,许多学者仍找到了有效的解决办法.因此,在本文中,我们主要考虑几类非线性微（积）分系统解的定性性质,具体分为两部分:第一部分是椭圆型问题解的存在性、稳定性及衰减估计;第二部分是一类浅水波方程尖孤子解的存在性和稳定性.具体内容如下:第一章我们回顾一些记号和约定,并给出在后面章节中会用到的一些有用的初步结果.第二章的第一部分研究具有径向结构的k-Hessian方程正则解的稳定性及衰减估计.其中n≥3,1<k<n/2,p>nk/n-2k.第二部分研究一般的k-Hessian方程σk（D2V）=（-V）p,x∈Ω,解的边界爆破估计.其中Ω是Rn中的有界区域,p>1,n≥ 3,1<k<n/2,且算子σk（D2V）=Sk（λ（D2V））,λ（D2V）=（λ1,λ2,…,λn）,λi是Hessian矩阵（D2V）的特征值,Sk（·）是一个k阶对称函数:我们利用Doubling引理将半线性和拟线性情形的结果推广到完全非线性的椭圆系统.第三章研究一类Wolff型积分方程u（x）=c（x）Wβ,γ（up）（x）,u>0,v∈Rn,解的径向对称性、单调性及正则提升.其中c（x）满足:c ≤ c（x）≤ C（c,C>0）,（?）首先,我们利用Doubling引理证明了当γ>1,p>γ-1,0<βγ<n时该方程解的正则提升结果,即:若（?）是方程的正解,则u∈L∞（Rn）,后来,我们又利用该正则提升结果得到了在n-k2k<p<n（p-k）/n-2k时k-Hessian方程可积解和有限能量解的非存在性.其次,我们利用积分形式的移动平面法研究了 c（x）≡1,γ∈（1,2],p>n（γ-1）/n-βγ,0<βγ<n时该方程的正解关于Rn中某点具有径向对称性及单调递减性.第四章研究具有三次非线性项的Novikov方程的初值问题周期尖波解的存在性及稳定性,并利用检验函数定义弱解法证明周期尖波解是全局弱解.其中S=[0,1）.第五章研究具有三次和二次非线性项的Novikov-CH方程mt+k1（3uuxm+u2mx）+k2（2mux+mxu）=0,m=u-uxx,t>0,尖峰孤子解的存在性.通过应用相关的格林函数及求解非线性偏微分方程的弱解的方法,求出了该方程的单孤子解和周期尖波解,并进行了理论分析和图像模拟.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• Preface
•   0.1 Background of Elliptic Systems
•   0.2 Background of Shallow Water Equations and Stability
• Chapter 1 Preliminaries
•   1.1 Notations and Conventions
•   1.2 Technical results
• Chapter 2 The qualitative properties of solutions for A:-Hessian equation
•   2.1 The stability and decay rate of the regular solutions with radial structure
•     2.1.1 Introduction
•     2.1.2 The existence and decay rate of regular solutions with radial structure
•     2.1.3 The stability of regular solutions with radial structure
•   2.2 The boundary blowing-up estimate of solutions
•     2.2.1 Introduction
•     2.2.2 The boundary blowing-up estimate of solutions
•   2.3 Conclusions of the Chapter
• Chapter 3 The research of positive solutions for a Wolff type integral equation
•   3.1 Introduction
•   3.2 The regularity lifting of solutions and Application
•   3.3 The radial symmetry and decreasing of solutions
•   3.4 Conclusions of the Chapter
• Chapter 4 Periodic peakons of the Novikov equation
•   4.1 Introduction
•   4.2 Existence of periodic peakons
•   4.3 Stability of periodic peakons
•   4.4 Conclusions of the Chapter
• Chapter 5 Existence of peaked solutions for the Novikov-CH combined equation
•   5.1 Introduction
•   5.2 Existence of single-peaked solutions
•   5.3 Existence of periodic peakons
•   5.4 Conclusions of the Chapter
• Chapter 6 Conclusions and Future Works
•   6.1 Conclusions
•   6.2 Future Works
• Bibliography
• Acknowledgements
• Publications and Finished Papers

文章来源

类型: 博士论文

作者: 王昀

导师: 田立新

关键词: 不等式,单调不等式,型积分方程,方程,径向对称性,积分形式的移动平面法,尖峰孤子解

来源: 南京师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 南京师范大学

分类号: O175

DOI: 10.27245/d.cnki.gnjsu.2019.000907

总页数: 107

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