摘 要：高中课堂教学是提高学生基础素质的关键；是实施素质教育的主战场；是师生沟通的主窗口。一题多变和多解，可以挖掘数学教材中蕴含的知识、技能、过程、方法、情感、态度和价值观。这样就可以大幅度提高学生的数学基础知识和思维能力的容量。
关键词：一题多解；变式；思维
这是2016年普通高等学校全国统一考试理科数学(Ⅰ卷)的第17题：
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c。
实验首先将高钛渣磨细至0.074 μm以下，配入一定量的苏打研磨均匀后装入坩埚内，置入马弗炉中，匀速升温到焙烧温度并保温一段时间，保温结束后随炉冷却至室温取出。然后用80～90℃的温水水洗焙烧产物，水洗后经抽滤得洗液和洗砂，洗液收集，洗砂用20%的盐酸，按液固比5:1，在110℃油浴磁力搅拌槽内酸浸1 h，酸浸后液回收循环利用，浸出渣水洗至pH≥6后干燥、煅烧。最后分析苏打焙烧高钛渣的成分及物相变化。
(1)求角C；(2)若的面积为求△ABC的周长。
一、一题多解
这里就针对第(1)问来讲解一题多解。此题的知识背景是利用正余弦定理和面积公式来解决这道解三角形的试题。第一种方法通过正弦定理达到边化角的目的，再根据特殊角的三角函数关系，得到角的大小。第二种方法是通过余弦定理达到角化边的目的，再由余弦定理得到特殊角的三角函数值，最后根据特殊角三角函数值得到角的大小。
虽然基于匹配追踪法的信号分解方法能够对信号进行很好的分解，但是针对某些信号，不难看出，在信号整体时间区间内依旧出现了计算出了负频率。若出现在端点处，可以通过周期延拓方式解决；若出现在时间区间中段，则可以通过改变子波种类，提升字典性能解决。
解答：(1)(法一：边化角)
由正弦定理(R是△ABC外接圆半径)，得
2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC⟹2cosCsin(A+B)=sinC
因为sin(A+B)=sin(π-C)=sinC，所以得C=60°。
企业的经济管理作为一个企业生存发展的重要因素之一，对企业的健康发展以及平稳运行起到非常重要的作用，基于市场营销模式下，企业加强经济管理可以保证企业日常管理工作顺利有效的进行，也可以给开展的各个项目提供支撑，使企业跟上经济发展的步伐，提高综合管理能力和核心竞争力，从而使企业在激烈的市场竞争之中稳步向前，更好的面临挑战。
因为基本不等式定理得当且仅当a=b时，取”=”。
自然科学类、社会科学类说明文阅读，是广东语文高职高考的一项重要考查内容，有9分的分值，以选择题的形式出现。基于七年来广东省语文高职高考的真题，笔者认为，只要掌握一定的阅读和答题方法，拿到满分并非难事，现总结出一些阅读方法和答题技巧，以供参考。
思维角度1：母题和变式(1)(2)都是利用余弦定理与面积或周长公式，得到关于a，b或a，b，h的方程组，通过求解方程组达到目的，而且结论是确定的值。
即a2+b2-c2=ab
所以得C=60°。
对第(1)问，教师采用了一题多解的方法来解答，从不同角度分析了该问题，达到了复习正余弦定理的目的。可以启发学生主体性思维、建立多元化视角以及打破固定思维模式的有效方法，对培养学生的数学核心素养具有推动作用。
二、一题多变
所以①式变为7≥2ab-ab即ab≤7，因为
4.总揽全局，把好项目协调关。审计组长是联系被审计单位、审计机关和审计人员的桥梁和纽带，担负着与审计组内外各方面的交涉与协调任务。为确保沟通、协调顺畅，需要审计组长紧紧围绕审计项目整体大局，巧用沟通技巧和方式方法取得被审计单位领导及部门的配合，达到协调工作高效运行的目的。如部分领导由于害怕问题被披露，会采取各种办法来为难审计组，甚至影响审计项目的顺利开展，使审计工作陷入尴尬的境地，这时候，就需要审计组长及时改进审计策略和方法，与被审单位的领导主动沟通，谈话时，以诚相待，注意沟通技巧，以达成共识，确保审计项目的顺利运行。
所以当且仅当时，面积S的最大值为
解答(2)：由余弦定理，7=a2+b2-ab①由面积公式得ab=6②
总之，通过引入生活实例，利用数形结合，合理设置数形跨度，既可提高学生学习数学的兴趣，也让学生在不断的训练中感悟数学思想，丰富思维活动，以提高学生的数学学习能力，又可以完成数学教学中趣味性与思辨性的实践探索。
由①②得，a+b=5，所以△ABC的周长为解毕。
第(2)题变式(1)已知一对元素和a+b=5(周长)，求面积；
因为a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，取“=”。
由余弦定理
变式(3)已知一对元素求面积S的最大值；
解答：由余弦定理得7=a2+b2-bc①
2000年11月，美国国会在水资源发展法中通过了大沼泽地综合修复计划。这是美国有史以来最大的环境修复工程，共有60个单项，计划30年完成。该计划的主要目标：一是增加自然生态的空间面积，改善栖息环境及其相应功能，增加原生态动植物种群的数量和多样性；二是增加区内工农业及城镇供水量，降低洪水灾害。修复计划有四项主要措施：
白猿通背拳的整体教学内容可分为三大块，一是以活为根基的拳法体系，二是操桩打袋的沉手功夫，三是穿甲喂招的对练体系.近年来张斌结合这三大块，创造了 “三位一体，打造通背真功夫”的训练体系.民族武术社在教学拳法以外还包括一些颇具特色的器械，如天罡刀、天罡剑、断门枪、欺离棒和戥壳皮(见图3)等.欺离棒是白猿通背拳最为常用的一种兵器，而戥壳皮只在牛街当地被人传习.
变式(2)已知一对元素和a+b=5(周长)，求AB边上的高h；
这里针对第(2)问来讲解一题多变，母题考查的是余弦定理、面积公式及解方程组的能力和技巧，目标是三角形周长。
分析(2)：已知一对元素和面积求周长。
变式(4)已知一对元素求AB边上的高h的最大值；
变式(5)已知一对元素求周长C的最大值；
解答：由余弦定理得7=a2+b2-ab即7=(a+b)2-3ab①
(法二：角化边)
一些环境影响评价机构将工作交给其他人员，因此，获得了巨大的经济效益，这将使环境影响评价市场管理混乱。这也将导致环境影响评估机构之间的正常竞争关系，并将降低环境影响评估的质量，从而大大降低环保工作的形象。
所以①式变为即
所以当且仅当时，周长C的最大值为
思维角度2：变式(3)(4)(5)，在前面的基础上减去了面积或周长这个条件，变为求最值的问题。条件的缩减，题目的难度加大了。要用到基本不等式定理和不等式定理。从而复习了不等式定理。
变式(6)已知元素C=60°，求sinA±sinB的取值范围；
解答：由三角形内角和定理得B=120°-A，A∈(0°，120°)
因为A∈(0°，120°)，所以A+30°∈(30°，150°)，得所以sinA+sinB的取值范围是
变式(7)已知元素C=60°，求cosA±cosB的取值范围；
变式(8)已知元素C=60°，求sinA±cosB的取值范围。
思维角度3：变式(6)(7)(8)中，已知条件再次缩减，所求目标转化为三角函数问题了。先利用三角形内角和定理把二元变量转化为一元函数；再利用三角恒等变换公式和辅助角公式把它化成y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式；最后利用三角函数的单调性性质得出取值范围。
进入12月份以来，七师一二六团各个基层单位通过学习、文艺表演、趣味游戏、发放书刊、观看纪录片等多种形式，开展了丰富多彩的“民族团结一家亲”文化活动。
三、利用思维导图来梳理此题讲解内容
在教师讲解一题多解和一题多变的过程中，数学基础知识会不知不觉地、源源不断地汇聚到学生的大脑；发现问题能力、分析问题能力和解决问题能力也会潜移默化到了学生的思想里；数学归纳总结能力、逻辑推理能力和自主学习能力都会向学生的大脑袭来。
作者简介：
王菊香，湖南省湘西土家族苗族自治州，湖南省永顺县第一中学。
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