变分法和平均法在几类微分方程中的研究

论文摘要

本文运用变分法研究了2n阶微分方程边值问题和二阶脉冲微分方程边值问题,得到了解的存在性与多解性。另外,本文推广了平均法理论,建立了高阶零点定理,并将其应用于高阶扰动微分系统中,得到了周期解和反周期解的存在性。根据研究方法和研究问题,本文分为以下章节:第一章为绪论,介绍研究课题的背景,研究方法,简述了变分法和平均法运用的基本思想,研究课题的现状,研究内容,难点和创新点。第二章为基础知识,介绍了Holder不等式,临界点定理,最大值原理,隐函数定理,存在唯一性定理等。第三章研究了变分法在带有Sturm-Liouville算子的2n阶微分方程边值问题的应用。通过Bonanno,Candito的两个三临界点定理,分别得到了边值问题三个解的存在性。第四章研究了变分法在两个脉冲问题的应用。第一个问题是带有非瞬间脉冲的边值问题,通过Lax-Milgram定理得到了一个解的存在性。第二个问题是同时带有瞬间脉冲和非瞬间脉冲的边值问题,通过Ekeland变分原理得到此问题有一个解。第五章研究了平均法理论的推广以及在高阶扰动微分系统中的应用。我们首先建立了一个高阶零点定理,以此证明形如g（z,ε）=gO（z）+∑i=1mεigi（z）+O（εm+1）的零点的存在性。其次通过平均法将高阶零点定理应用于高阶扰动微分系统中,得到了扰动系统周期解和反周期解的存在性。第六章为当前工作的总结和未来工作的展望。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
•   1.1 研究背景
•   1.2 研究方法
•     1.2.1 变分法
•     1.2.2 平均法
•   1.3 研究现状
•   1.4 研究内容
•   1.5 研究的难点,创新点
•     1.5.1 研究的难点
•     1.5.2 研究的创新点
• 第二章 基础知识
• 第三章 2n阶微分方程边值问题
•   3.1 问题描述
•   3.2 预备知识
•   3.3 主要结果
•   3.4 例子
•   3.5 总结
• 第四章 二阶脉冲微分方程边值问题
•   4.1 问题描述
•   4.2 带有非瞬间脉冲的二阶微分方程边值问题
•   4.3 带有两种类型脉冲的二阶微分方程边值问题
•   4.4 例子
•   4.5 总结
• 第五章 高阶非线性扰动微分系统
•   5.1 问题描述
•   5.2 预备知识
•   5.3 主要结果
•   5.4 例子
•   5.5 总结
• 第六章 总结与展望
• 附录 式子（5-12）的证明
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间发表的学术论文目录

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 张敏

导师: 田玉

关键词: 变分法,平均法,临界点定理,瞬间脉冲,非瞬间脉冲

来源: 北京邮电大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 北京邮电大学

分类号: O175

总页数: 70

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