针对压缩感知与矩阵填充的凸锥问题求解方法研究

论文摘要

作为突破奈奎斯特采样定理限制的新思路,压缩感知以及矩阵填充逐渐发展为大家所关注的热点问题。特别是在地球物理方向,众多专家学者均尝试将其引入重、磁、电、震等相关问题的处理当中。但是随着研究的深入,在其数学理论相关研究进入瓶颈期后,其在实际工程应用中也随之遇到了较大的困难。在其核心要素上,观测矩阵的设计、稀疏矩阵的选取以及重构算法的优化均需要基于实际工程问题进行针对性的设计与优化。这便使得压缩感知与矩阵填充在实用化的方向上困难重重,即使是在较为成熟的信号分析与图像处理领域中,也常常出现求解速率不高、求解质量不足、收敛趋势不稳等难点问题。特别是在地震反演方向上,现已经存在丰富的反问题求解方法,而在应对压缩感知与矩阵填充问题时,现有方法的泛化能力又明显不足。针对常规求解思路下,现行求解方案泛化能力不足,无法有效确定目标问题是否可解的情况,本文提出在成熟的凸优化算法的基础上,通过对目标反问题设计合理的描述方法,从而将其转换为可稳定求解的凸优化问题,从而对压缩感知与矩阵填充问题提供稳定收敛的求解方案。首先对压缩感知与矩阵填充的本质问题进行分析,指出两者均在稀疏约束问题框架下依据各自约束条件形成稀疏约束欠定方程与低秩约束欠定方程。通过对现行重构算法的细致分析与对高维数据重构的理论模型验证、不同子空间相关性分析,对凸优化问题在不同约束条件下的可行性进行了分析论证。最后通过结合各类约束条件,将目标反问题描述为锥式凸优化问题,随后采用对偶化、平滑处理等手段进行凸优化求解。为了进一步验证该方法的普适性,本文采用常规一阶优化算法对不同类型的稀疏重构问题进行了求解与分析。随后基于二维图像进行了图像去噪与去模糊处理试验,均取得较好的处理效果。随后基于浅层地震资料进行了去噪处理、缺损数据填充、超分辨率重建、屏蔽区域信道增强及综合处理应用研究,均取得了较好的应用效果。在整体策略设计中,我们通过引入对偶函数来扩充求解空间,并设计该空间的上、下确界为原始目标函数与其对偶函数。在该空间中,借由参数函数、最倨值函数、共轭函数证明原始目标函数与其对偶函数的最值关系。为后续的求解提供理论依据。求解策略的设计与优化中,采用平滑处理方法应对不同的可微情况,并设计复合形式拆解方法,将对偶函数中的向量的线性组合成分分离,从而降低计算成本。在对具体问题求解时,提出连续子问题策略、重启策略与退步策略提高一阶算法在求解进程中的收敛稳定性与高效性。研究过程中重点解决了以下问题:(1)为加强目标问题描述的泛化能力以弥补现有重构方法泛化能力不足,提出通用凸锥式求解模板。(2)为提高常规优化算法对复杂约束条件下的凸优化问题的求解性能,提出复合锥式平滑函数模型进行最优化求解。(3)在实际资料处理中进行有效信道重建,针对浅层强轴下方的能量屏蔽问题,提出基于压缩感知求解思路的有效信道增强方法,达到提高地震资料成像质量及相关属性的分辨率的效果。

论文目录

• 摘要
• abstract
• 专业术语注释表
• 第1章 引言
•   1.1 论文的研究意义
•   1.2 压缩感知的基本原理与研究现状
•     1.2.1 稀疏矩阵
•     1.2.2 观测矩阵
•     1.2.3 重构算法
•   1.3 矩阵填充的基本原理与研究现状
•     1.3.1 矩阵低秩性
•     1.3.2 矩阵非相干性
•     1.3.3 重构算法
•   1.4 压缩感知与矩阵填充的关系
•   1.5 论文主要内容及章节安排
•   1.6 论文主要创新点
• 第2章 压缩感知理论及参数分析
•   2.1 压缩感知与稀疏可压缩信号
•     2.1.1 数值信号采集
•     2.1.2 稀疏与可压缩信号
•   2.2 稀疏表达方式分析讨论
•     2.2.1 稀疏矩阵
•     2.2.2 矩阵相干性
•   2.3 观测矩阵的构造与测试分析
•     2.3.1 常用观测矩阵
•     2.3.2 常用观测矩阵相干性分析
•   2.4 常见重构算法讨论
•     2.4.1 常用贪婪重构算法
•     2.4.2 梯度追踪算法及相关改进
•   2.5 本章小结
• 第3章 矩阵填充理论及分析
•   3.1 基本理论与模型
•     3.1.1 相关基本概念
•     3.1.2 矩阵填充基本理论
•     3.1.3 三类模型矩阵
•   3.2 矩阵空间相关性分析
•     3.2.1 非相干子空间生成随机子空间
•     3.2.2 随机子空间生成非相干子空间
•   3.3 相关性质分析
•     3.3.1 解的唯一性分析
•     3.3.2 Bernoulli模型
•     3.3.3 单射性质分析
•     3.3.4 尺度性质分析
•     3.3.5 关联问题讨论
•   3.4 数值模拟测试分析
•   3.5 本章小结
•   附:部分关键引理证明
• 第4章 针对稀疏信号的凸锥问题求解方法
•   4.1 目标问题的凸优化描述及处理思路
•     4.1.1 基本子问题函数形式划分
•     4.1.2 基本子问题函数形式求解思路
•   4.2 凸锥形式求解思路及实例分析
•     4.2.1 凸锥形式求解策略
•     4.2.2 基于Dantzig Selector问题的实例分析
• 1与TV范数求解'>  4.3 LASSO、核范数、Dantzig Selector、L₁与TV范数求解
•   4.4 稀疏信号的一阶优化算法设计与讨论
•     4.4.1 一阶优化算法
•     4.4.2 步长设计
•     4.4.3 线性算子结构
•     4.4.4 连续子问题求解策略
•     4.4.5 目标函数强凸性分析
•   4.5 数值模拟测试分析
•     4.5.1 Dantzig Selector问题
• 1范数与TV范数问题'>    4.5.2 L₁范数与TV范数问题
•     4.5.3 矩阵填充问题
•     4.5.4 LASSO问题
•   4.6 本章小节
• 第5章 实际应用效果分析
•   5.1 图像处理中的反问题求解
•     5.1.1 图像处理中的近端梯度法
•     5.1.2 基于TV范数的约束图像去噪
•     5.1.3 基于TV范数的约束图像去模糊
•   5.2 地震资料处理中的应用
•     5.2.1 叠前资料去噪处理
•     5.2.2 地震数据重建测试
•     5.2.3 超分辨率重建测试
•     5.2.4 浅层地震资料尝试性处理
• 第6章 总结与认识
•   6.1 总结与建议
•   6.2 认识与展望
• 致谢
• 参考文献
• 附录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 胡瑞卿

导师: 王彦春

关键词: 凸优化,压缩感知,矩阵填充,稀疏约束

来源: 中国地质大学(北京)

年度: 2019

分类: 基础科学,工程科技Ⅰ辑

专业: 地质学,地球物理学,矿业工程

单位: 中国地质大学(北京)

分类号: P631.4

DOI: 10.27493/d.cnki.gzdzy.2019.000027

总页数: 208

文件大小: 23153K

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