非线性偏微分方程几种解法的研究

论文摘要

非线性偏微分方程作为非线性科学的主要内容之一,是被用于描述客观世界随空间、时间变化而产生复杂的物理现象的数学模型。几十年来,通过相关研究者的努力,对于非线性偏微分方程的求解已经创造了如达布变换法、对称约化法、同伦摄动法等众多方法,本文将针对于其中几种求解方法进行拓展与延伸,使之通过该方法获得更多类型的新解。其具体包括如下几方面:第一章:对非线性偏微分方程研究背景与相应知识进行介绍。同时,对本文取得的研究成果进行简略说明。第二章:对函数展开法进行扩展,首先将解由原来的向正次幂展开对称延拓到负幂次项,然后将展开式中所有的自变量进行完全形式的分离,从而丰富了非线性偏微分方程的精确解。最后以（′/2）-展开法和（F/G）-展开法为例分别求解了（2+1）-维Broer-Kaup-Kupershmidt方程与（2+1）-维分数阶Nizhnik-Novikov-Veselov方程,并给出了它们的特殊孤子的结构激发解。第三章:使用Hirota双线性导数法先将广义（3+1）-维浅水波方程的Lump型孤子解与呼吸波解进行组合叠加,从而显示出Lump型孤子被扭结孤立波吞噬过程。然后再将（2+1）-维Sawada-Kotera方程的单孤子解和Lump型孤子解进行组合叠加,从而探究这两种类型解在相互作用过程中表现出来的碰撞、反弹、吸收、分裂等粒子性特征。此外,Lump型孤子在双条纹孤子的影响下,只在一瞬间出现,然后立即消失,于是Lump型孤子就变成了共振怪波。通过理论计算和数形结合的方法求得这种新型怪波的运动轨迹、存在时间、面积、体积等等特征量,以便对这种类型怪波有深入的了解。第四章:通过重正规化方法分别求解了分数阶Klein-Gordon方程在强弱非线性条件下的一级解析近似解。然后当无需特殊考虑非线性项参数大小的情况下,直接采用线化和校正方法求出方程的一级近似解,并对两种方法所得结果进行比较。第五章:总结与展望。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 介绍研究背景与相关知识
•   1.2 本文的主要工作
•   1.3 本文的思路和创新
•     1.3.1 研究方法与思路
•     1.3.2 特色与创新
• 第二章 函数展开法
•   2.1 方法介绍
• 2）-展开法求解（2+1）-维BKK方程'>  2.2 扩展的（G'/G²）-展开法求解（2+1）-维BKK方程
•   2.3 推广的（F/G）-展开法求解（2+1）-维分数阶NNV方程
•   2.4 小结与讨论
• 第三章 双线性导数法
•   3.1 方法简介
•   3.2 广义（3+1）-维浅水波方程的相互作用解
•     3.2.1 方程的Lump解
•     3.2.2 方程的呼吸解
•     3.2.3 方程的相互作用解
•   3.3 （2+1）-维SK方程的相互作用解
•     3.3.1 方程的单孤子解
•     3.3.2 方程的Lump解
•     3.3.3 Lump孤子与单孤子的相互作用
•     3.3.4 共振怪波
•   3.4 本章小结
• 第四章 近似解析方法
•   4.1 重正规化方法
•   4.2 线化和校正方法
•   4.3 本章小结
• 第五章 总结与展望
•   5.1 全文总结
•   5.2 今后的相关工作
• 参考文献
• 在校研究成果
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 孟勇

导师: 楼森岳

关键词: 函数展开法,双线性导数法,重整规化,线化和校正方法

来源: 宁波大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 宁波大学

分类号: O175.29

DOI: 10.27256/d.cnki.gnbou.2019.001049

总页数: 57

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