几类空间分数阶偏微分方程的高效算法研究

论文摘要

分数阶微分方程基于分数阶导数的非局部性质,可以更好地描述科学工程领域中具有分形色散、遗传效应和记忆性的许多现象.近些年来,分数阶微分方程得到了广泛应用.然而,通常大多数情形,分数阶方程的解析解涉及到难以处理的特殊函数或者很难求得.因此,开展其数值方法的研究就显得十分必要.本论文主要考虑几类空间分数阶偏微分方程的高效算法研究,包括非线性分数阶Ginzburg-Landau方程,带有非齐次边界条件的守恒型双边空间Rieman-Liouville分数阶微分方程以及双边空间Caputo类分数阶微分方程.我们的主要工作包括以下四个方面:（1）研究对一维和二维非线性分数阶Ginzburg-Landau方程.我们建立分裂步拟紧差分格式,特别地,对于二维问题的线性部分,采用交替隐式（ADI）有限差分格式.对线性情形,我们给出了数值解的有界性和收敛性证明,并通过数值试验验证了格式的有效性.（2）研究带非齐次边界条件的双边Riemann-Liouville和Caputo分数阶微分方程.我们分析了带有不同边界条件的双边分数阶微分方程弱问题的适定性.同时,我们建立Galerkin惩罚谱方法,构造了相应的弱变分形式,并给出了满足相应强制性充分条件的证明.基于充分条件的证明,我们给出了相应罚参数和罚函数的估计.最后,数值试验验证了理论的高效性.（3）考虑带非齐次分数阶Neumann边界条件的双边Riemann-Liouville分数阶微分方程.我们依据第四章导出的谱关系式,给出新型的分数阶谱配置方法.该方法的优势在于可以显式表示分数阶微分矩阵以及边界微分矩阵,使得配置矩阵易于实现.此外,构造了扩散方程的谱配置格式,数值验证了分数阶谱配置格式的有效性.（4）研究带非齐次分数阶Neumann边界条件的双边Caputo分数阶微分方程.我们构造基于分层网格的谱元离散格式,并基于弱变分形式的系数矩阵,建立了基于其系数矩阵的Hierarchical矩阵逼近的快速算法.同时我们也给出了Hierarchical矩阵的构造以及预处理系统,得到了一个既可以减少计算代价又可以不损失误差精度的有效算法,特别适用于大型矩阵.数值试验也验证了方法的有效性.总之,本文不仅构造了非线性分数阶Ginzburg-Landau方程的有效算法,也深入探讨了带有广义边界的双边分数阶偏微分方程有效算法的构造.此外,我们也给出了相应的理论结果.这些工作也为今后数值求解分数阶扩散方程以及非线性分数阶偏微分方程提供了有效算法.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
•   1.1 分数阶算子的发展历史
•   1.2 研究背景
•   1.3 研究动机与本文工作概要
• 2 分数阶导数与Jacobi多项式
•   2.1 分数阶导数的定义与性质
•   2.2 Jacobi多项式
•   2.3 广义的Jacobi函数（Jacobi polyfractonomials）
• 3 非线性Ginzburg-Landau方程的分裂拟紧有限差分方法
•   3.1 引言
•   3.2 分数阶G-L方程的分裂步方法
•   3.3 一维问题的分裂步拟紧差分格式
•   3.4 二维问题的分裂步拟紧差分格式
•   3.5 数值试验
•   3.6 本章小结
• 4 广义边界条件的双边分数阶微分方程的惩罚谱方法
•   4.1 引言
•   4.2 广义Jacobi函数与Jacobi多项式
•   4.3 适定性
•   4.4 惩罚谱方法（SPM）
•   4.5 Petrov-Galerkin tau谱方法（PGS-τ ）
•   4.6 数值试验
•   4.7 一个关于扩散方程的应用
•   4.8 本章小结
• 5 带分数阶Neumann边界条件的分数阶微分方程的谱配置格式
•   5.1 引言
•   5.2 分数阶方程的谱配置格式
•   5.3 反射边界条件的分数阶扩散方程的谱配置格式
•   5.4 数值试验
•   5.5 本章小结
• 6 双边分数阶微分方程的谱元方法以及快速算法
•   6.1 引言
•   6.2 谱元格式的构造
•   6.3 谱元格式的实现
•   6.4 Hierarchical矩阵构造
•   6.5 H-矩阵逼近求解线性系统
•   6.6 数值试验
•   6.7 本章小结
• 7 总结与展望
• 致谢
• 参考文献
• 攻读学位期间发表和完成的论文目录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 王楠

导师: 黄乘明

关键词: 分数阶偏微分方程,差分格式,非齐次边界条件,适定性,惩罚谱方法,分数阶谱配置方法,谱元方法

来源: 华中科技大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 华中科技大学

基金: 国家自然科学基金项目(No.11771163),国家留学基金委(No.201706160082)

分类号: O241.82

DOI: 10.27157/d.cnki.ghzku.2019.005034

总页数: 122

文件大小: 4250k