交替方向乘子法在线性反问题中的应用

论文摘要

本文我们主要发展了交替方向乘子法来迭代求解Hilbert空间中带凸罚项的一般线性反问题并在一定的停机准则下证明了交替方向乘子法是一种迭代正则化方法.根据问题的结构我们分两种情况进行了讨论,分别利用交替方向乘子法和带预条件的交替方向乘子法来求解相应问题.我们用各种数值实验验证了这两种方法的正确性和高效性.在第一章我们回顾了反问题的基本概念、正则化理论和正则化算法.在第二章我们回顾了本文所需的基础知识、相关的优化方法和已有的迭代正则化方法,优化方法包括梯度下降法、Uzawa方法、增广拉格朗日乘子法和交替方向乘子法,,已有的迭代正则化方法包括Landweber迭代法与半迭代法、迭代Tikhonov正则化方法、Uzawa方法和增广拉格朗日乘子法.在第三章我们发展了交替方向乘子法在线性反问题求解中的应用.对无噪声情形我们不利用拉格朗日乘子的存在性证明了交替方向乘子法的收敛性.对带噪声情形我们提出了可计算的停机准则,证明了交替方向乘子法可以在有限步迭代后满足停机准则,且在噪声水平趋于零时停机解会收敛到真实解,从而证明了交替方向乘子法是一种迭代正则化方法.在第四章我们进一步考虑了利用交替方向乘子法求解大规模问题时无法利用快速变换高效求解子问题的情形,对此我们发展了带预条件的的交替方向乘子法.与第三章类似,对无噪声情形我们不利用拉格朗日乘子的存在性证明了带预条件的交替方向乘子法的收敛性.对带噪声情形我们进一步考虑了已知噪声水平的和未知噪声水平两种情况,分别提出了相应的停机准则并证明了带预条件的交替方向乘子法可以在有限步迭代后满足停机准则,且在噪声水平趋于零时停机解会收敛到真实解,从而证明了带预条件的交替方向乘子法也是一种迭代正则化方法。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 符号说明
• 1 绪论
•   1.1 反问题概述
•   1.2 正则化理论
•   1.3 正则化算法
•     1.3.1 Tikhonov正则化方法
•     1.3.2 迭代正则化方法
•     1.3.3 统计性算法
•   1.4 本文主要工作
•   1.5 本文组织结构
• 2 相关知识与已有的迭代正则化方法
•   2.1 基础知识
•   2.2 相关的优化方法
•     2.2.1 梯度下降法
•     2.2.2 Uzawa方法
•     2.2.3 增广拉格朗日乘子法
•     2.2.4 ADMM算法
•   2.3 迭代正则化方法
•     2.3.1 Landweber迭代与半迭代法
•     2.3.2 迭代Tikhonov正则化方法
•     2.3.3 Uzawa方法
•     2.3.4 增广拉格朗日乘子法
• 3 ADMM算法处理线性反问题
•   3.1 研究动机
•   3.2 问题的假设
•   3.3 收敛性分析
•     3.3.1 存在唯一性及几个重要引理
•     3.3.2 无噪声情形下的收敛性分析
•     3.3.3 带噪声情形下的收敛性分析
•   3.4 数值实验
•     3.4.1 一维去卷积问题
•     3.4.2 二维全变差模型去模糊问题
•     3.4.3 二维小波框架模型去模糊问题
•     3.4.4 半收敛性
•     3.4.5 参数敏感性分析
• 4 PADMM算法处理线性反问题
•   4.1 研究动机
•   4.2 存在唯一性定理与基本引理
•   4.3 无噪声情形下的收敛性分析
•   4.4 带噪声情形下的收敛性分析
•     4.4.1 已知噪声水平时间题的正则化
•     4.4.2 未知噪声水平时间题的正则化
•   4.5 数值实验
•     4.5.1 扇形光CT成像
•     4.5.2 平行光CT成像
• 5 总结与展望
• 参考文献
• 攻博期间发表的科研成果目录
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 王伟杰

导师: 吕锡亮

关键词: 线性反问题,迭代正则化方法,交替方向乘子法,带预条件的交替方向乘子法,距离

来源: 武汉大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 武汉大学

分类号: O241.6

总页数: 143

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