论文摘要
凸几何主要是利用几何与分析的方法研究几何体（主要是凸体与星体）的几何结构和不变量的一门现代几何学科,其核心内容是Brunn-Minkowski理论,Minkowski问题是Brunn-Minkowski理论中最基本的问题之一.Minkowski问题一直是积分几何与凸几何、微分几何、几何分析以及PDE中的热点问题之一,主要涉及解的存在性、唯一性、连续性与正则性.本文主要是研究对偶Minkowski问题解的连续性.首先,我们考虑log-Minkowski问题解的连续性.log-Minkowski问题既是LpMinkowski问题p=0时的情形也是对偶Minkowski问题q=n时的情形.当p>1且p≠n时,G.Zhu于2017年解决了LpMinkowski问题解的连续性.受G.Zhu工作的启发,我们考虑log-Minkowski问题解的连续性.在平面R2上的情形,利用log-Minkowski不等式以及log-Minkowski问题解的唯一性,我们解决了偶log-Minkowski问题解的连续性,并注意到一般log-Minkowski问题（没有偶条件的假设）解的连续性在Rn中是不成立的.其次,我们研究对偶Minkowski问题当q<0时解的连续性.对偶Minkowski问题不仅是log-Minkowski问题的自然推广,而且还是LpMinkowski问题的“对偶”情形.根据LpMinkowski问题解连续性的问题,我们自然考虑对偶Minkowski问题解的连续性.利用关于对偶Minkowski问题的极值问题以及对偶Minkowski问题解的唯一性,我们得到了关于对偶曲率测度的对偶log-Minkowski不等式.再利用对偶log-Minkowski不等式与对偶Minkowski问题解的唯一性,我们得到了对偶Minkowski问题当q<0时解的连续性.最后,我们讨论关于对偶面积测度的对偶Minkowski问题.利用关于对偶混合体积的循环不等式以及关于对偶锥体积测度的对偶log-Minkowski不等式,我们得到了相应对偶Minkowski问题解的唯一性.我们证明了关于对偶面积测度的对偶Minkowski问题解的连续性（q>n-1）.此外,我们还得到了关于对偶面积测度的对偶log-Minkowski不等式及其对偶log-Brunn-Minkowski不等式稳定性的结果.
论文目录
文章来源
类型: 博士论文
作者: 王贺军
导师: 周家足
关键词: 锥体积测度,对偶曲率测度,对偶面积测度,问题,对偶问题
来源: 西南大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学
单位: 西南大学
分类号: O18
总页数: 93
文件大小: 965K
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