摘要：针对决策信息为毕达哥拉斯模糊集的多属性决策问题，提出了一种基于混合加权测度的TOPSIS决策方法。在分析了现有距离测度方法不足的基础上，首先给出了一种新的毕达哥拉斯模糊距离测度——毕达哥拉斯模糊有序加权距离(PFOWD)，并研究了该测度权重的确定方法；在PFOWD基础上，进一步提出了毕达哥拉斯模糊混合加权距离(PFHWD)，同时探讨了其特征和与现有毕达哥拉斯模糊测度的关系；最后提出了一种基于PFHWD测度的毕达哥拉斯模糊TOPSIS多属性方法，并用实例验证了方法的有效性和可行性。
关键词：毕达哥拉斯模糊集；距离测度；混合加权；多属性决策；TOPSIS
1引言
距离测度是最常用的信息测度工具之一，主要用于反映变量或指标之间的差异程度或相似性，目前已在模糊识别、医疗诊断、聚类分析、图像处理和决策分析等多个领域得到广泛的应用。例如医生为病人诊断病情, 需要先查看病人的病情, 再与某种疾病的症状进行测度比对, 从而对症下药；再如，在群体共识中，通常需要计算个体偏好值与群体意见之间的距离，然后根据距离偏差程度确认个体与群体的共识程度。常见的距离测度主要是基于加权平均视角而构建的，如加权平均汉明距离、加权平均欧氏距离等[1]。而最近基于有序加权视角的距离测度方法引起了广大学者的兴趣，如基于有序加权平均(OWA)算子[2]的思路，Xu Zeshui和Chen Jian[1]首先提出了有序加权距离(OWD)测度，并研究了一种基于OWD的群体共识达成法，该方法的特点是专家可以根据实际问题的需要设置OWD测度的权重，进而增强或者缓解或大或小的差异在集成结果中的影响，从而能得到较理想的结果和较快达成共识。Merigó和Gil-Lafuente[3]则提出了有序加权平均距离测度，研究了其优良的特性和特殊形式，并将其应用于金融投资方案的决策中。在此基础上，诸多学者将OWD方法应用于不同的决策场景，如Xu Zeshui和Xia Meimei[4]将OWD方法应用于犹豫模糊情形中，提出了犹豫模糊OWD(HFOWD)测度；Merigó和Casanovas[5]将之与诱导变量相结合，提出了出了基于诱导变量的有序加权测度方法，得到了诱导有序加权平均测度，并研究了该测度方法在群体决策中的应用。Zeng Shouzhen和Su Weihua[6]则提出了直觉模糊OWD(IFOWD)测度及研究了其在金融决策中的应用；Zeng Shouzhen等[7]研究了基于概率的有序加权距离测度方法及其在区间多属性决策中的应用。Liu Huchen等[8]研究了基于二维区间信息的混合OWD测度并将之应用于医疗故障风险评价与分析。Zhou Ligang等[9]从连续性方面研究了OWD测度。更多关于有序加权测度的理论和应用研究可见文献[10-15]。
为改进传统模糊集[16]中仅考虑隶属度的缺陷，Atanassov在文献[17]中对传统的模糊集进行了拓展，提出了直觉模糊集的概念，其优点是可以同时考虑隶属度、非隶属度和犹豫度这三个方面信息的直觉模糊集。与传统模糊集相比，直觉模糊集更符合决策者对被评估对象表现出肯定、否定和犹豫的思维习惯，在处理模糊性和不确定问题方面更具灵活性和实用性。近20年来，直觉模糊集引起了众多研究者的重视和关注，相应的理论和应用研究成果也较丰富[18-22]。然而在直觉模糊决策的过程中, Yager[23]发现专家所给出的方案满足属性的隶属度和非隶属度之和往往会出现大于1的情况，此时，直觉模糊信息将无法正确地描述专家的偏好信息。为此，Yager提出了一种新的模糊集—毕达哥拉斯模糊集[23]，其特征是允许隶属度和非隶属度之和可以超过1, 但其平方和不超过1，从而使得专家不必因重新修改其直觉模糊评价值而中断决策过程。基于此优点，众多学者从不同角度对毕达哥拉斯模糊集进行了深入的拓展研究。较具代表性的，如Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]提出了毕达哥拉斯模糊运算规则，并给出了基于毕达哥拉斯模糊信息的TOPSIS方法；刘卫锋等[25]提出了一系列毕达哥拉斯模糊环境下的拟加权平均和拟加权几何集成方法；Zeng Shouzhen等[26]从平均加权和有序加权视角研究了达哥拉斯模糊距离测度方法及其在多属性决策中的应用。Peng Xindong和Yang Yong[27-28] 分别研究了基于Choquet积分和基于区间值的毕达哥拉斯模糊集及其应用。Gou Xunjie等[29]从连续性方面研究了毕达哥拉斯模糊集的特征及其应用。Zhang Xiaolu[30-31]从相似度等方面对毕达哥拉斯模糊集进行了深入研究。
由以上文献可以看出，毕达哥拉斯模糊集理论和应用的研究成果日趋丰富，但目前尚未从有序加权视角研究毕达哥拉斯模糊距离测度方法，同时毕达哥拉斯模糊多属性决策方法体系也有待进完善研究。为此，本文将从有序加权视角研究毕达哥拉斯模糊距离测度及其多属性决策方法。本文的结构安排如下：首先, 提出毕达哥拉斯模糊有序加权距离(PFOWD)测度，并给出了其权重确认方法；其次，在PFOWD的基础上，提出了毕达哥拉斯模糊混合加权距离(PFHWD)测度，研究了其优点及其特殊形式；最后，提出了一种基于PFHWD-TOPSIS的毕达哥拉斯模糊多属性决策方法, 并通过案例应用说明其可行性和有效性。
2预备知识
2.1毕达哥拉斯模糊集
定义1[23]。设X为论域，则称
A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}
(1)
为论域X上的毕达哥拉斯模糊集，其中μA(x)和vA(x)分别为X中元素x属于A的隶属度和非隶属度，即μA:X→[0,1]，vA:X→[0,1]，且∀x∈X。此外，
∀x∈X
(2)
表示X中元素x属于A的犹豫度或不确定度。特别地，若πA(x)=0，∀x∈X，则A退化为Zadeh的传统模糊集。为便于表述，称α=(μα,vα)为毕达哥拉斯模糊数(PFN)[24]， 其中，
(3)
定义4[24]. 设α1=(μα1,vα1)和α2=(μα2,vα2)为两个PFN，则称
这一酒瓶主要由艺术大师黄永玉先生进行设计。酒鬼酒瓶在形状上与饱满且捆扎好的麻袋相似，初看之下与出土文物十分类似，但做进一步的观察就能发现，大土大俗之下通常都能体现出大雅，酒鬼酒瓶具备非常高的艺术欣赏价值。从材料上来说，这一酒瓶主要以紫砂陶作为原料，这种材料能很好的与酒瓶造型结合起来，更好的体现出酒瓶的历史厚重感。从酒鬼酒瓶自身所表现的精神内涵来说，其麻袋形状主要表示盛酒，同时也表示酒主要是由粮食酿造而成的。由于这一酒品主要生产于我国湘西地区，麻袋这一淳朴自然的形象也能更好的体现出湘西当地人民热情豪爽、崇尚自然的民族天性。
定义2[24].设α1=(μα1,vα1)和α2=(μα2,vα2)为任意两个PFN，定义和分别为α1和α2的得分值，和分别为α1和α2的精确度，则：
(1)若s(α1)<s(α2), 则α1<α2;
(2)若s(α1)=s(α2), 则
•若h(α1)<h(α2), 则α1<α2；
•若h(α1)>h(α2), 则α1>α2；
定义3[24]. 设α=(μα,vα),α1=(μα1,vα1) 和α2=(μα2,vα2)为任意三个PFN,λ>0，则其运算规则定义为:
(1)α1⊕
(2)α1⊗
且设全体PFN的集合为Ω。
并设
dPFD(α1,α2)=
(4)
为α1和α2的距离测度。
1.2 方法A、B组患者均在静脉全身麻醉下行手术治疗,根据患者骨折的部位选择侧卧位或仰卧位,充分暴露术区,剥离两侧骨膜,将断端对位。A组患者根据肋骨横径选择合适大小的TiNi环抱式接骨器,先将接骨器置于无菌冰水中5 min,取出后立即将环抱臂迅速置于两侧断端,随即用45℃盐水纱布热敷固定处;B组患者暴露断端髓腔,钻孔扩髓,应用合适型号的可吸收髓内钉将两侧断端解剖复位;C组患者应用胸带加厚棉垫固定加压包扎患处。此外,所有患者均进行止痛、化痰、抗感染治疗。
2.2有序加权距离测度
证明：令w=(1/n,1/n,…,1/n)T和λ=1，则
定义5. 对于实数集A={a1,a2,…,an}和B={b1,b2,…,bn}，记aj与bj之间的距离为d(aj,bj)=|aj-bj|，则
仪器的最佳工作参数设置列在表1。在该条件下激发高纯锡样品，其锡基体的质谱峰对称性好，强度大小合适，峰型标准，满足检测的基本条件。
(5)
则由上式得到的权重满足且dPFD(ασ(j),βσ(j))越靠近平均值则相应的权重越大。
特别地，当λ=1和λ=2时，OWD测度分别称为有序加权平均(OWAD)[3]测度和有序加权Euclidean距离(OWED)测度：
根据双曲线模型公式计算时间折扣率：Vt=V/(1+kt)，其中t表示延迟的时间(1/3/6/12个月)，Vt是远期结果的现值(100元)，V是被试所期待的远期结果，k是时间折扣率。k值越小表示在跨期决策中的远期偏好越强烈，k值越大表示越为短视。分别计算出被试在4个不同延时的跨期决策任务中的k值，取其平均数作为因变量指标。
(6)
(7)
OWD测度的特点在于它能通过分配或高或低的权重进而增强或者缓解或大或小的差异在集成结果中的影响。然而，上述有序距离测度只适用于所给信息为实数值时的情形，下面研究基于毕达哥拉斯模糊信息的有序加权距离测度。
3主要结果
在毕达哥拉斯模糊数距离定义的基础上，我们首先定义毕达哥拉斯模集之间的加权距离。
定义和是定义在集X={x1,x2,…,xn}上的毕达哥拉斯模糊集，则
(8)
称为毕达哥拉斯模集和的加权距离(PFWD)测度，ω=(ω1,ω2,…,ωn)T为xj(j=1,2,…,n)的权重向量，满足ωj∈[0,1]且
显然，PFWD测度仅考虑待集成指标的重要性，没有体现出其所在位置的重要。为此，我们提出毕达哥拉斯模糊有序加权距离(PFOWD)测度，定义如下：
定义7. 设和为定义在X={x1,x2…,xn}上的毕达哥拉斯模糊集，则
(9)
为毕达哥拉斯模集和的有序加权距离(PFOWD), 其中w=(w1,w2,…,wn)T为与PFOWD测度相关联的权向量，满足是(1,2,…,n)的一个置换，使得∀j∈[1,n]，满足dPFD(ασ(j-1),βσ(j-1))≥dPFD(ασ(j),βσ(j)),dPFD(αj,βj)为αj与βj的距离。特别地，当λ=1和λ=2时，PFOWD测度分别称为毕达哥拉斯模有序加权汉明距离(PFOWHD)测度和毕达哥拉斯模有序加权欧氏距离(PFOWED)测度。
如何确定与PFOWD测度相关联的权重是一个非常关键的问题，从定义可以看出，PFOWD与OWA算子和OWD测度一样，其实质都是一种有序加权方法，因此关于OWA算子和OWD测度的权重求解方法同样适用于PFOWD测度，如最小二乘法和正态分布法[32]。根据PFOWD的特性，下面我们另外给出一种PFOWD的权重确定方法，设
(10)
和
(11)
根据CPU子系统的功能，CPU子系统的工作模拟控制与工作状态过程如下：正常工作情况下，CPU进行计数运算，并在交互界面上显示出来，同时将计数值发送给FPGA仲裁系统，计数信号模拟为控制输出信号，界面的显示模拟当前的控制进度；通过用户输入控制计数的正常、暂时停止、永久停止来模拟该系统的正常、瞬时失效、永久失效工作状态，电源部分失效也视为永久失效。
wj=
(12)
称为集A与B的有序加权距离(OWD)测度，其中，λ>0，w=(w1,w2,…,wn)T是与OWD相关联的权重向量，满足为(1,2,…,n)的一个置换，使得d(aσ(j-1),bσ(j-1))≥d(aσ(j),bσ(j)) 。
容易证明PFOWD算子具有一般集成算子的数学特征，如单调性、有界性、幂等性和交换性等。
由定义6和定义7可以看出，PFWD测度与PFOWD测度的本质区别在权重向量的确定，前者中的权重分配侧重于反映评价者对指标属性重要程度的判断，而后者则强调待集成数据的序权重。两者均仅考虑了权重分配的某一方面，都有一定的片面性。为克服上述缺点，笔者提出毕达哥拉斯模混合加权距离测度，定义如下：
定义和是定义在X={x1,x2,…,xn}上的毕达哥拉斯模糊集，若
(13)
则PFHWD称为毕达哥拉斯模糊集和的混合加权距离，其中，是加权距离此时第j大的元素，w=(w1,w2,…,wn)T是与PFHWD相关联的权向量，ω=(ω1,ω2,…,ωn)T是dPFD(αj,βj)的权重，满足ωj∈[0,1]和为平衡系数。
吴滨告诉我，严格意义里的设计从来都不是一味修改或刻意迎合，设计就像一面镜子，能将设计者的内心世界完美的反射在其作品中，所以在全新一代路虎发现中我们能看到路虎全球设计总监哲芮勋的良苦用心。就像汽车范畴里的新车不能一味重塑经典或者一味追逐时尚一样，如何取舍或者兼融既能够体现设计师的功底，也能让人们在优秀的设计面前懂得欣赏和选择，这其实才是设计的魅力所在。这个世界上其实并不存在什么被所有人都喜欢的事物，就像我们平日里在购物时出现的那些爆款商品一样，短短的风靡一时过后必将因为过分的雷同而随即遭受抛弃。
特别地，当λ=1和λ=2时，对应的PFHWD测度分别称为毕达哥拉斯模糊混合加权汉明距离(PFHWHD)测度和毕达哥拉斯模糊混合加权欧氏距离(PFHWED)测度。可以证明PFWD和PFOWD都是PFHWD的特例。
定理1PFWD是PFHWD测度的一个特例。
基于OWA算子[2]的思路，Xu和Chen[1]提出有序加权距离(OWD)测度，定义如下：
金沙江是长江上游的生态屏障。为保护当地的自然环境，云南港航投资公司在项目建设中，把修复生态环境摆在压倒性位置，全力抓好沿江流域水污染治理、水生态修复、水资源保护，确保“一江清水流出云南”。
定理证毕。
定理2PFOWD是PFHWD测度的一个特例。
证明：令ω=(1/n,1/n,…,1/n)T, 则
nωj(dPFD(ασ(j),βσ(j)))λ=(dPFD(ασ(j),βσ(j)))λ
定理证毕。
由定理1和定理2可知，PFHWD测度改进了PFWD和PFOWD测度的缺点，不仅能考虑每个数据的自身重要性程度，而且还体现了该数据所在位置的重要性程度。
4基于PFHWD的毕达哥拉斯模糊TOPSIS多属性决策方法
假设一个毕达哥拉斯模糊多属性决策问题包括m个备选方案和n个评价属性。令X={x1,x2,…,xm}表示方案集，C={c1,c2,…,cn}表示属性集，属性的权重向量为ω=(ω1,ω2,…,ωn)T满足和ωi∈[0,1]。方案xi(i=1,2,…,m)在属性cj(j=1,2,…,n)下的评估值为毕达哥拉斯模糊数cj(xi)=(μij,νij)，从而得到毕达哥拉斯模糊多属性决策信息的矩阵形式R=(cj(xi))m×n：
则基于PFHWD-TOPSIS毕达哥拉斯模糊多属性决策方法步骤如下：
步骤1.构造毕达哥拉斯模糊决策矩阵R=(cj(xi))m×n，其中矩阵中的元素cj(xi)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)是一个毕达哥拉斯模糊数，为决策者给出的方案xi∈X关于属性cj∈C下的评估值。
步骤2. 利用公式(14)和(15)计算方案的毕达哥拉斯模糊正理想解 A+和负理想解A-:
济南市市中区在全国率先实现集团化办学全覆盖，在全国率先实现全员运动会100%全覆盖……给出了“公平而有质量”教育的市中式方案和智慧，也为我们的封面故事提供了灵感。
(14)
(15)
步骤3. 利用方程(13)分别计算方案xi(i=1,2,…,m)与正理想解A+和负理想解A-的混合加权距离PFHWD(xi,A+)和PFHWD(xi,A-)。
医院是发展不可或缺的组成部分，对社会的和谐稳定发展有着极为重要的意义，而良好的财务预算管理事关医院整体发展，传统的财务预算管理存在着许多亟待解决的问题，高消耗、高成本的财务管理现状对医院良好发展产生严重的制约与阻碍，因此，必须要加强医院成本控制，减少资金方面的消耗与浪费，才能在激烈的市场竞争中以最低的成本获取最高的效益。
步骤4. 现有文献的TOPSIS方法中一般采用传统的贴进度函数来对方案进行排序[26,33-36]。然而文献[24,37]指出，传统贴近值最大的方案有时并不能同时满足与正理想解最近和与负理想解最远。基于此，本文提出一种新的计算方案xi的贴近度函数ζ(xi)(i=1,2,…,m):
(16)
其中
服务人员将因工作关系熟悉和掌握大量的技术和业务数据，有机会了解和接触委托单位的一些公务活动、办公与业务信息。
该改进型贴近度ζ(xi)主要是用来度量离毕达哥拉斯模糊正理想解A+最近的方案和与毕达哥拉斯模糊负理想解A-最远的程度。由式(16)易知，当ζ(xi)≤0(i=1,2,…,m)且ζ(xi)越大，相应的方案xi则越优。如果存在一个方案同时满足条件和
则显然，方案为最优方案，因为它能同时满足距正理想解A+最近和负理想解A-最远。
步骤5. 根据贴近度ζ(xi)的大小对方案xi(i=1,2,…,m) 择优排序，ζ(xi)越大，相应的方案xi(i=1,2,…,m)则越优。
注：Zhang Xiaolu和Xu Zeshui在文献[24]中提出了一种基于加权平均距离(PFWD)测度的毕达哥拉斯模糊TOPSIS (PFWD-TOPSIS)方法，即在上述步骤3中利用PFWD来计算方案xi(i=1,2,…,m)与正理想解A+和负理想解A-的距离。由于PFWD测度是PFHWD测度的一种特殊形式，因此Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]的PFWD-TOPSIS方法也是我们本文提出的PFHWWD-TOPSIS方法的一种特殊形式。事实上，根据PFHWD的参数λ和权重的取值变化，我们可以得到PFHWD的一系列特殊形式，从而可得到一系列基于PFHWD特殊形式TOPSIS方法，如PFWD-TOPSIS方法、PFHWHD-TOPSIS方法和PFHWED-TOPSIS方法等。
5实例分析
近年来中国的高速铁路发展迅速，由于其快速便捷越来越受到乘客的欢迎，对国内航空市场造成了巨大的挑战。特别是在2008年全球经济低迷之后，越来越多的航空公司都试图通过降低价格来吸引顾客。但不幸的是，他们很快就发现这不是一个双赢的局面，只有良好的服务质量才是竞争生存的关键和基本要素。为了提高国内航空公司的服务质量，民用航空局建立了一个决策委员会来研究国内主要的四大航空公司[24]：北方航空公司(x1)、南方航空公司(x2)、东方航空公司(x3)、厦门航空公司(x4)。假设委员会根据以下四个主要指标属性来评估这四大航空公司：订票与售票服务(c1)、安检与登机服务(c2)，客舱服务(c3)和响应性服务(c4)。通过对四个评价指标重要性的问卷调查，确定属性指标的权重向量为ω=(0.15,0.25,0.35,
0.25)T。由于决策环境的复杂性和决策者自身知识、经验的有限性，本文假设该决策委员会用毕达哥拉斯模糊形式来表达他们对四大航空公司在其各个属性下的评估值，具体见表1。
及
二是巩固定期交流机制，深入开展双边合作。陈雷部长作为国家主席特使和中国政府特使出席加纳和厄瓜多尔总统就职仪式，圆满完成国家外交使命，并以高层外交带动水利对外经济技术合作。组织召开10次双边交流会议和活动，新签署2项合作协议，积极探索与发达国家和国际金融组织在发展中国家开展三方合作新模式。我国与8个国家联合声明（或领导人通信）中，充分肯定双方水利合作重要作用和显著成效。
依据上述决策信息，我们首先计算出毕达哥拉斯模糊正理想解A+和负理想解A-:
表1毕达哥拉斯模糊决策矩阵
C1C2C3C4x1 (0.9,0.3) (0.7,0.6) (0.5,0.8) (0.6,0.3)x2(0.4,0.7)(0.9,0.2)(0.8,0.1)(0.5,0.3)x3(0.8,0.4)(0.7,0.5)(0.6,0.2)(0.7,0.4)x4(0.7,0.2)(0.8,0.2)(0.8,0.4)(0.6,0.6)
A+={(0.9,0.3), (0.9,0.2), (0.8,0.1), (0.7,0.4)}
A-={(0.4,0.7), (0.7,0.6), (0.5,0.8), (0.6,0.6)}
假设与PFHWD测度相关联的权重向量W=(0.1,0.35,0.3,0.25)T，且不失一般性，设λ=2，则可利用PFHWD计算方案xi(i=1,2,…,m)与正理想解A+和负理想解A-的混合加权距离PFHWD(xi,A+)和PFHWD(xi,A-)，并在此基础上利用公式(16)计算方案xi的贴近度ζ(xi)(i=1,2,…,m)，结果如下表2所示：
表2基于PFHWD-TOPSIS方法的评价结果
PFHWD(xi,A+)PFHWD(xi,A-)ζ(xi)排名x10.3540.202-1.2734x20.2560.399-0.2862x30.2330.339-0.3213x40.1990.321-0.1951
因为ζ(x4)≻ζ(x2)≻ζ(x3)≻ζ(x1)，故四大航空公司的服务质量排序为：
x4≻x2≻x3≻x1，
综上所述，在核心素质的背景下，教师应该在小学语文课堂中重视对学生的教育。通过不断探索与研究，完善课堂教学，创新教学形式，积极培养学生的人文内涵和精神素养，达到语文学科教化育人的效果。
即厦门航空公司(x4)为航空服务质量评价最高的航空公司。
下面我们采用Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]的PFWD-TOPSIS(λ=2)方法对本例题进行分析，计算结果如表3所示：
表3基于PFWD-TOPSIS方法的评价结果
PFWD(xi,A+)PFWD(xi,A-)ζ(xi)排名x10.4180.286-1.4984x20.2960.629-0.3832x30.2400.600-0.1681x40.2140.370-0.4123
根据ζ(x3)≻ζ(x2)≻ζ(x4)≻ζ(x1)，航空公司的服务质量排序为：x3≻x2≻x4≻x1，由此可得东方航空公司(x3)为航空服务质量评价最高的航空公司，和本文提出的方法得出的结果不同。其主要原因是PFWD-TOPSIS方法中的PFWD测度只考虑了属性指标的重要性，并不能体现属性指标所在位置的重要性，从而得出有偏差的结果。
我们可进一步分析PFHWD测度中的参数λ的变化对贴近度函数和决策结果的影响，如图1所示，随着参数λ的变化，方案的贴近度函数也在变化，从而排序结果也会发生相应的变化。从图1可以看出当λ∈(0,1.55)时，南方航空公司(x2)可视为航空服务质量评价最高，当λ∈[1.55,6.02)，厦门航空公司(x4)可选为最优方案，而当λ≥6.02，东方航空公司(x3)的贴近度函数都比其他方案的都大，从而x3可作为最优方案。根据PFHWD中参数λ的数学特征可发现，λ的大小主要可用于体现决策者决策风险偏好的程度。
隔天早上，大姐起床坐早班火车回合肥。妻子说，我不知道你们凭什么嫌弃我？我生皮肤病又不是我想生皮肤病，再说神经性皮炎，医生都说了不传染！我说，你这是瞎猜疑，没有人嫌弃你生皮肤病。妻子说，大姐昨天晚上不愿跟我睡，你每天晚上睡觉离我八丈远。
图1 候选方案的贴近度函数(基于参数λ的 PFHWD-TOPSIS)
由以上分析可知，本文提出的PFHWD-TOPSIS方法具有良好的性质，主要体现在：(1)该方法不但考虑了集成数据的重要性，而且能体现数据所在位置的重要性，从而可以增加或减低偏差过大或者过小的数据对集成结果的影响；(2)提出的新的贴进度函数可以改进现有方法的缺陷，能够同时满足最优方案距正理想解最近和与负理想解最远；(3)专家可根据实际需要和偏好选择合适的参数λ，从而为决策者提供了更多的选择机会，与其他方法相比更具决策柔性，其适用范围也更广泛。
6结语
本文从有序加权视角研究了毕达哥拉斯模糊距离测度方法及其应用。首先，定义了毕达哥拉斯模糊有序加权距离测度，该距离测度能有效地消除过大或过小的不合理信息造成的误差，从而提高了测度方法的科学性与合理性。其次，在有序加权距离测度的基础上进一步提出了毕达哥拉斯模糊混合加权距离(PFHWD)测度，PFHWD不仅能体现每个数据的自身重要性程度，而且还突出了该数据所在位置的重要程度。再者，提出了一种基于PFHWD测度的毕达哥拉斯模糊TOPSIS多属性决策方法(PFHWD-TOPSIS)，其核心是利用PFHWD度量备选方案与正负理想解的距离，从而得到方案的贴近度，并根据其大小对方案进行排序与择优。该方法不仅计算简单，而且拓展了PFHWD的应用范围，丰富了已有的毕达哥拉斯模糊测度的研究成果。最后，案例分析结果也体现了本文所提方法具有很强的决策柔性和灵活性，决策者可以依据风险偏好和实际问题需要调节参数值λ，这一特性使该方法的适用范围更加广泛。
值得注意的是，本文提出的PFHWD不仅能有效与TOPSIS方法结合，改进现有TOPSIS方法的缺陷，而且还可广泛应用于各种群体决策与评价问题中，具有一定的推广价值。如在大规模群体决策活动中，由于专家的知识背景等差异，往往使得决策难以达成一致，而本文提出的PFHWD能有效地消除这种差异，帮助决策者快速达到群体共识，决策者还可根据评价目的与实际问题的需要选择PFHWD中适当的参数进行决策分析，从而提高决策结果的科学性与合理性。
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AMethodBasedonHybridWeightedDistanceforPythagoreanFuzzyTOPSISMultiple-attributeDecisionMaking
ZENGShou-zhen1,2,MUZhi-min3
(1.School of Business, Ningbo University, Ningbo 315211, China;2. School of Management, Fudan University, Shanghai 200433, china;3. School of Basic Science, Tianjin Agricultural University, Tianjin 300384, China)
Abstract： The aim of this paper is to present a technique based on the hybrid weighted distance (PFHWD) measure for Pythagorean fuzzy TOPSIS model. Firstly, the inadequacies for the existing Pythagorean fuzzy distance measures are analyzed in detail. Then, two new distance measures, namely the Pythagorean fuzzy ordered weighted distance measure and the PFHWD measure are presented to enhance Pythagorean fuzzy theory, some of their advantages are also explored. Furthermore, based on the proposed measures, a modified TOPSIS termed the PFHWD-TOPSIS, is developed for Pythagorean fuzzy multiple attribute decision making problems. Moreover, a revised relative coefficient is proposed to rank the potential alternatives. Finally, a numerical example concerning the service quality of domestic airlines is introduced to demonstrate the effectiveness of the developed model. The research of this paper contributes to enrich the theory and application of Pythagorean fuzzy set.
Keywords： Pythagorean fuzzy set; distance measure; hybrid aggregation; multiple-attribute decision making; TOPSIS
文章编号：1003-207(2019)03-0198-08
DOI:10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2019.03.020
中图分类号：C943
文献标识码：A
收稿日期：2017-08-24；
修订日期：2018-05-22
基金项目：国家社科基金资助项目(18BTJ027)
通讯作者简介：曾守桢(1981-)，男(汉族)，江西吉安人，宁波大学商学院副教授，复旦大学管理学院博士后，研究方向：综合评价与决策分析，E-mail:zszzxl@163.com.
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