流形上布朗运动的数值模拟

论文摘要

自英国植物学家R.Brown发现液体介质中的微粒的无规则运动现象之后,描述这一现象的布朗运动理论逐渐被公众所认识。经过爱因斯坦、朗之万等人在理论上的研究,布朗运动得到了极大的发展,已经在诸如数学、金融、生物等领域得到了广泛的应用。流形上的布朗运动是受约束布朗运动的一种几何描述,在现实生活中有许多随机过程都能够用流形上的布朗运动进行描述,因此研究流形上的布朗运动有助于理解生活中一些随机现象。关于流形上布朗运动的理论性研究已经得到了一定的发展,然而在流形上布朗运动的数值模拟方面研究还需要进一步深入,这是验证理论正确性以及探索布朗运动性质的重要途径。本文将以球面以及二维曲面为主要的研究对象,针对其各自的流行特点,提出新的算法实现这些流形上的布朗运动的数值模拟,主要包括以下内容:(1)针对现有球面布朗运动数值模拟算法(如参数法、投影法)的不足之处,提出了适用于一维球面和二维球面,能够保持布朗运动每时每刻随机性,以及避免“失真”现象发生的旋转法,能够避免上述算法出现的问题,精确的将布朗运动反映在球面上;(2)针对高维球面上的布朗运动数值模拟,通过建立高维球面上点的切平面上的局部坐标系,实现了切平面上的布朗粒子的随机行走,通过投影法中点向球面投影的相关原理,实现了高维球面上布朗运动的数值模拟;(3)对于球面表面布朗运动均方位移特有的变化规律进行了阶段性的分析,结合概率统计的相关理论,对一维和二维球面上布朗运动均方位移的稳定值实现了定量的计算,并通过数值模拟方法进行了验证;(4)建立了曲面表面布朗运动轨迹与测地线之间的联系,结合测地线的相关理论,实现了复杂正则曲面上布朗运动的数值模拟;同时提出了一种能够满足精度要求的几何逼近算法,同样能够实现二维曲面上布朗运动的数值模拟。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 布朗运动的发展与应用
•   1.2 流形上的布朗运动数值模拟研究现状
•   1.3 研究目的与内容
• 第二章 布朗运动相关理论
•   2.1 布朗运动的定义
•   2.2 爱因斯坦理论
•   2.3 朗之万方程
•   2.4 空间向量绕轴旋转
•   2.5 空间中两坐标系中坐标转换
• 第三章 球面表面布朗运动的数值模拟
•   3.1 球面
•   3.2 一维球面上布朗运动
•     3.2.1 参数法数值模拟
•     3.2.2 均方位移计算
•   3.3 二维球面上布朗运动
•     3.3.1 参数法
•     3.3.2 投影法
•     3.3.3 旋转法
•   3.4 高维球面布朗运动数值模拟
•   3.5 球面表面布朗运动均方位移的稳定值计算
•     3.5.1 一维球面上布朗运动均方位移稳定值计算
•     3.5.2 二维球面上布朗运动均方位移稳定值计算
•   3.6 本章小结
• 第四章 二维曲面上布朗运动数值模拟
•   4.1 基本微分几何知识
•     4.1.1 和式约定
•     4.1.2 Gauss记号与张量记号
•     4.1.3 Christoffel记号
•     4.1.4 测地曲率
•   4.2 测地线与布朗运动
•     4.2.1 测地线的定义
•     4.2.2 测地线与布朗运动的联系
•   4.3 曲面表面的布朗运动模拟
•     4.3.1 测地线方程
•     4.3.2 曲面表面布朗运动模拟
•     4.3.3 均方位移计算
•     4.3.4 测地线方程的数值计算
•   4.4 一种曲面表面的布朗运动几何逼近算法
•   4.5 本章小结
• 第五章 总结与展望
•   5.1 总结
•   5.2 论文研究创新点
•   5.3 展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间的科研成果
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 周文杰

导师: 冮铁强

关键词: 流形,布朗运动,数值模拟,测地线

来源: 厦门大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 物理学

单位: 厦门大学

分类号: O552.1

总页数: 93

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