几类偏微分方程弱有限元方法研究

论文摘要

弱有限元方法（weak Galerkin finite element methods,简称WG方法）是最近发展起来的求解偏微分方程的有效数值方法.它的主要思想是利用弱微分算子代替传统意义下的微分算子,然后把其应用到通常的变分形式中以数值求解偏微分方程.弱有限元方法的逼近函数为分片间断多项式,逼近函数在单元与单元之间的联系则通过单元边界上的特定多项式实现.自从弱有限元方法在2011年被王军平和叶秀[1]提出以来,它已经被成功应用到求解各种偏微分方程.本文主要提出了几类偏微分方程的新的弱有限元方法.在第三章,通过引入一个反对称矩阵,构造了反应对流扩散方程的一个新的WG格式.该格式对应的线性系统是正定的,从而很容易获得系统的适定性.该格式的WG元取为形式（Pk（T）,Pk-1（e））,即在单元的内部,取k次多项式,在单元的边界,取k-1次多项式.这样,使得该新的WG有限元格式产生更少的自由度.通过误差分析,分别给出了在离散H1范数及L2范数下的误差估计,并作了相应的数值实验研究.理论分析和数值实验表明,在以上范数意义下,该新的WG有限元格式均达到最优收敛阶,即对k次元,在离散H1范数下,其收敛比率为O（hk）,在L2范数下,其收敛比率为O（hk+1）.在第四章,结合间断有限元思想,通过在单元边界上引入均值:{.}和跃值:[·],提出了反应扩散方程的一个新的MWG（modified weak Galerkin）有限元方法.一方面,该方法产生的自由度比传统的WG方法少;另一方面,与现有的一些MWG方法比较,该方法的有限元函数空间和检验函数空间为同一分片间断多项式空间,即均为Vh={v:v|T ∈ Pk（T）,T ∈ T,k≥1},这样的好处是使得误差eh=uh-Q0u（Q0为局部L2投影）属于检验函数空间Vh,从而便于对MWG格式进行误差分析.理论分析和数值实验表明,在离散H1范数及L2范数下,该新的MWG格式均达到最优收敛阶,也就是说,对k次元,在离散H1范数意义下,其收敛比率为O（hk）,在L2范数意义下,其收敛比率为O（hk+1）.在第五章,利用第四章提出的MWG方法,构造了反应对流扩散方程的MWG有限元格式.在该格式中,通过引入一个反对称矩阵,处理了问题中的对流项,从而保证了格式的正定性.通过误差分析,给出了在离散H1范数和L2范数下的误差估计,并作出了相应的数值实验.理论分析和数值实验表明,在以上范数意义下,该MWG格式均达到最优收敛阶,也就是说,对k次元,在离散H1范数意义下,其收敛比率为O（hk）,在L2范数意义下,其收敛比率为O（hk+1）.在第六章,借助单元边界上的均值:{·},我们构造了弱函数的新形式:v={u,{v},{▽v}},给出了弱Laplace的新定义,并由此提出了重调和方程的MWG有限元格式.该MWG格式的有限元函数空间和检验函数空间为同一分片间断多项式空间,即均为Sh={v:v|T∈Pk（T）,T∈τh,k≥2}.通过误差分析,我们给出了在离散H2范数及L2范数意义下的误差估计.理论分析表明,在离散H2范数意义下,该MWG格式达到最优收敛阶,即对k次元,格式收敛比率为O（hk）;在L2范数意义下,当MWG元取2次元时,格式达到次最优收敛阶,即收敛比率为O（h2）,当MWG元取k（k≥3）次元时,格式达到最优收敛阶,即其收敛比率为O（hk+1）.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   §1.1 研究背景与现状
•   §1.2 问题提出
•   §1.3 本文工作
• 第二章 预备知识
•   §2.1 Sobolev空间基本知识
•   §2.2 弱微分算子
•   §2.3 形状正则剖分
• 第三章 反应对流扩散方程的新的WG有限元方法
•   §3.1 WG有限元格式
•   §3.2 适定性
• 1误差估计'>  §3.3 H¹误差估计
• 2误差估计'>  §3.4 L²误差估计
•   §3.5 数值实验
•     §3.5.1 常系数问题算例
•     §3.5.2 变系数问题算例
•   §3.6 小结
• 第四章 反应扩散方程的MWG有限元方法
•   §4.1 MWG有限元格式及其适定性
• 1范数及投影误差不等式'>  §4.2 H¹范数及投影误差不等式
•   §4.3 误差分析
•   §4.4 数值实验
•   §4.5 小结
• 第五章 反应对流扩散方程的MWG有限元方法
•   §5.1 MWG有限元格式及其适定性
• 1误差估计'>  §5.2 H¹误差估计
• 2误差估计'>  §5.3 L²误差估计
•   §5.4 数值实验
•   §5.5 小结
• 第六章 重调和方程的MWG有限元方法
•   §6.1 离散弱Laplace
•   §6.2 MWG有限元格式
•   §6.3 投影误差不等式
• 2误差估计'>  §6.4 H²误差估计
• 2误差估计'>  §6.5 L²误差估计
•   §6.6 小结
• 总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 在学期间发表的学术论文

文章来源

类型: 博士论文

作者: 李观荣

导师: 陈艳萍

关键词: 二阶椭圆问题,反应扩散方程,反应对流扩散方程,重调和方程,弱有限元方法,改进弱有限元方法,有限元方法

来源: 湘潭大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 湘潭大学

分类号: O241.82

DOI: 10.27426/d.cnki.gxtdu.2019.001663

总页数: 107

文件大小: 3561k

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