二维变系数Allen-Cahn方程解的若干研究

论文摘要

偏微分方程是数学研究的重要组成部分,本文主要研究一类重要的二阶椭圆型偏微分方程:Allen-Cahn方程。它是起源于合金相变研究的经典非线性方程,它在图像处理、平均曲率运动、晶体生长等实际问题中有着非常广泛的应用。近些年来,大量学者专注于Allen-Cahn方程的研究,获得了许多的研究成果。本文主要研究Allen-Cahn方程在二维平面上整体解的一些性质。首先介绍了一些Allen-Cahn方程的基础理论、研究成果及进展。然后,证明了平面上Allen-Cahn方程一类特殊的2k-end解在具有某种对称函数空间中是非退化的。最后,给出了一些关于Toda系统与费米坐标系中的拉普拉斯算子的理论知识;利用无限维Lyapunov-Schmidt还原论证法证明了二维变系数Allen-Cahn方程在平面上存在Multiple-end解。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
•   1.1 选题背景及其意义
•   1.2 国内外研究现状及发展动态分析
•     1.2.1 Allen-Cahn方程的定义
•     1.2.2 Heteroclinic解
•     1.2.3 De Giorgi猜想
•     1.2.4 Multiple-end解
•     1.2.5 Multiple-end解非退化性研究
•     1.2.6 研究Allen-Cahn方程的两种工具
•   1.3 本文的主要工作
•     1.3.1 主要研究内容
•     1.3.2 论文章节
• 第2章 Allen-Cahn方程Multiple-end解的非退化性
•   2.1 引言
•   2.2 主要内容
•   2.3 本章小结
• 第3章 二维变系数Allen-Cahn方程的Multiple-end解
•   3.1 预备知识
•     3.1.1 Toda系统
•     3.1.2 费米坐标系中的拉普拉斯算子
•   3.2 引言
•   3.3 主要结论
•   3.4 证明理论
•   3.5 构造近似解
•   3.6 证明结论
•     3.6.1 一个重要的估计
•     3.6.2 非线性问题的可解性
•   3.7 本章小结
• 第4章 结论与展望
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表的论文及其它成果
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 刘旋

导师: 刘勇

关键词: 方程,非退化性,二维变系数,还原论证法

来源: 华北电力大学(北京)

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 华北电力大学(北京)

分类号: O175.2

DOI: 10.27140/d.cnki.ghbbu.2019.000749

总页数: 58

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