分数阶延迟积分及偏微分代数方程的波形松弛方法

论文摘要

分数阶（偏）微积分广泛应用于许多科学与工程问题,如模拟异常运输现象、声衰减现象、集成电路、医学、材料时变行为、无序半导体传输等,因此引起了众多学者的研究兴趣,并获得了大量的理论成果。然而,分数阶微积分方程的解析解结构复杂,甚至求其解析解非常困难,这使得分数阶微积分方程的数值方法成为研究热点。其中,波形松弛方法具有高效、易并行等特点,已在常微分方程和偏微分方程中得到普遍应用。但是,受时滞现象、记忆性和代数约束的影响,分数阶偏（延迟）微分（积分）代数方程的数值计算和理论分析的研究受到了一定的阻碍,因此,本文主要应用离散波形松弛方法对分数阶延迟积分及偏微分代数方程进行研究。第一章讲述分数阶（偏）微分方程的研究现状,阐述国内外波形松弛方法的主要研究进展,以及介绍本文的主要研究工作。第二章针对Caputo分数阶延迟积分微分代数方程进行分裂,采用约束网格对时间区域进行剖分后,构造系统的离散波形松弛迭代格式,方程右端函数在满足经典Lipschitz条件下,证明了求解该问题的波形松弛方法的收敛性。其中Caputo分数阶导数用Gr¨nwald-Letnikov格式离散,积分项用复化梯形公式近似;最后通过数值试验说明离散波形松弛方法的有效性。第三章首先选用2-阶隐式差分格式对带初边值条件的分数阶半线性偏微分代数方程中的Caputo分数阶偏导数进行离散,然后依次利用一阶、二阶中心差分分别离散空间一阶、二阶偏导数,从而得出分数阶偏微分代数方程离散波形松弛迭代格式;接下来,利用向量形式对多个离散的迭代系统进行简化,从而分析该系统的离散波形松弛方法的收敛性条件;最后通过数值试验说明理论的可行性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
•   S1.1 研究背景与意义
•   S1.2 国内外波形松弛方法的研究现况
•   S1.3 本文的主要工作
• 第二章 分数阶延迟积分微分代数方程的离散波形松弛方法
•   S2.1 分数阶延迟积分微分代数方程离散波形松弛方法的收敛性分析
•   S2.2 数值试验
• 第三章 分数阶偏微分代数方程的离散波形松弛方法
•   S3.1 分数阶偏微分代数方程的离散波形松弛方法的收敛性分析
•   S3.2 数值试验
• 总结与展望
• 参考文献
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 黄小辉

导师: 刘红良

关键词: 分数阶,微分代数方程,离散波形松弛方法,收敛条件

来源: 湘潭大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 湘潭大学

分类号: O241.82

DOI: 10.27426/d.cnki.gxtdu.2019.000590

总页数: 48

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