非线性耦合偏微分方程的有限元分析

论文摘要

本文主要研究时间依赖型的非线性耦合偏微分方程（诸如非线性发展热离子方程、非线性Poisson-Nernst-Planck（PNP）方程、Navier-Stokes方程）在半离散和全离散格式下的有限元误差分析.从协调元、非协调元和混合元的不同角度,探究了其收敛性、超逼近和超收敛性质.主要创新点表现在:（1）不同于以往文献对发展热离子方程的最优误差估计,通过巧妙地使用低阶的双线性元和扩展的旋转1元（1）在矩形网格下的积分恒等式技巧和单元上的平均值技巧,克服了耦合项（）|?|2中电势的梯度的平方非线性性所带来的困难,得到了温度和电势的在能量模意义下的超逼近和超收敛的结果.（2）对于非线性PNP方程,由于耦合项1?和2?中出现了静电势的梯度,以往文献仅仅只得到了离子浓度1,2的2-范数意义下的不丰满的误差估计.而本文则通过技巧性的采用双线性元在矩形网格下的高精度的估计,改善了以往文献中有关2-范数的拟最优的结果,特别是得到了相关变量在能量模意义下的超逼近和超收敛的性质.（3）对于Navier-Stokes方程,选取特殊的低阶非协调混合元对,即对速度分量和压力分量分别使用受限制的旋转1元和分片常数0元,并利用其在矩形网格下的特殊性质,再结合对惯性项有技巧性的估计,得出了速度在能量模和压力在2范数意义下的超逼近和超收敛的结果.（4）进一步地,对于Navier-Stokes方程,利用低阶的协调混合元格式,即对速度分量和压力分量分别使用双线性元和分片常数,在比以往文献对区域的光滑性（如边界为2）要求较低的情况下,同样使用误差分裂技巧得到了时间步长和空间步长无网格比要求的有关速度和压力的最优的误差估计.在第一部分,研究了时间依赖的非线性发展热离子方程（也称为Joule热方程）的双线性元在半离散和线性化的后向Euler全离散格式下的超逼近和超收敛性质.由于耦合项中出现了|?|2,以往文献仅得到了温度和电势在能量模意义下的最优误差估计.不同于以往的分析,通过巧妙的使用双线性元在矩形网格下的积分恒等式和单元上的平均值技巧,克服了耦合项中的梯度平方非线性性所带来的困难,得到了相关变量在能量模意义下的超逼近结果.在此基础上,借助于一个简单有效的插值后处理算子来得到相关变量的整体超收敛的结果.在第二部分,讨论了Joule热方程的一个常用的低阶非协调元,即扩展的旋转1（1）元,在半离散和线性化后向Euler全离散格式下的超逼近和超收敛.不同于协调元,非协调元的误差分析中需要估计一个相容误差项,而这一项通常难得到在能量模意义下的高阶的结果.本文借助于1元的在矩形网格下的两个特殊性质:一是插值算子与Ritz投影算子等价;二是相容误差在能量模意义下为（?2）阶,比插值误差高一阶,再结合单元上的平均值技巧,得到了相关变量在能量模意义下的超逼近结果.进而,再通过适当的插值后处理方式获得了整体的超收敛的结果.本文第三部分,着重考虑了PNP方程的双线性元的半离散和全离散的超逼近和超收敛分析.由于耦合项中出现了静电势的梯度?,使用传统的估计方式,以往文献仅仅只得到了离子浓度在2-范数意义下的次最优的结果.而本文则充分利用双线性元在矩形网格下的高精度的结果（参看第一部分）,巧妙地解决了耦合项中梯度所带来的困难,不仅改善了以往文献中有关离子浓度在2-范数意义下的次最优的结果,而且得到了相关变量在能量模意义下的超逼近的结果.再使用与第一部分相同的插值后处理算子进而得到整体的超收敛的结果.在第四部分中,采用一个低阶的非协调混合元对,即对速度分量和压力分量用受限制的旋转1CNR（1）元和常数0元逼近,来研究了时间依赖Navier-Stokes方程在线性化全离散格式下的误差估计.充分利用上述单元对在矩形网格下的高精度估计,通过引入局部2投影以及对惯性项使用特殊的分裂技巧,得到了速度在能量模意义下和压力在2范数意义下的超逼近的结果.在此基础上,分别对速度和压力的数值解构造适当的插值后处理算子,导出了相应整体的超收敛的结果.论文最后一部分,使用低阶的协调混合元对,即对速度使用双线性元11和压力使用0元逼近,讨论了时间依赖Navier-Stokes方程的一个线性化全离散格式的误差估计.通过使用误差分裂技巧,在对区域边界仅为Lipschitz连续的条件下,得到了速度和压力的无时间步长和空间步长限制的最优的误差估计,降低了以往文献要求区域边界是2的光滑性要求.值得一提的是,对上述的每一部分,我们都提供了相对应的数值试验来进一步验证理论分析的正确性及所采用的方法的有效性.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
•   S1.1 背景及国内外研究现状
•   S1.2 论文主要研究内容和安排
• 第二章 预备知识
•   S2.1 Sobolev空间的一些基础知识及一些常用的不等式
•   S2.2 有限元方法的基本理论
• 第三章 非线性发展热离子方程的协调有限元超收敛分析
•   S3.1 单元介绍及一些基本引理
•   S3.2 半离散格式下的超逼近和超收敛分析
•   S3.3 线性化后向Euler格式下的超逼近和超收敛
•   S3.4 数值算例
• 第四章 非线性发展热离子方程的非协调有限元超收敛分析
•   S4.1 单元构造和一些引理
•   S4.2 半离散格式下的超逼近和超收敛分析
•   S4.3 线性化后向Euler格式下的超逼近和超收敛
•   S4.4 数值算例
• 第五章 非线性Poisson-Nernst-Planck方程的有限元超收敛分析
•   S5.1 半离散格式下的超逼近和超收敛分析
•   S5.2 全离散格式下的超逼近和超收敛分析
•   S5.3 数值算例
• 第六章 时间依赖Navier-Stokes方程的低阶非协调混合元超收敛分析
•   S6.1 有限元空间的构造及一些引理
•   S6.2 超逼近和超收敛分析
•   S6.3 数值算例
• 第七章 时间依赖Navier-Stokes方程的低阶协调混合元无条件收敛分析
•   S7.1 有限元空间的构造、引理和主要结果
•   S7.2 时间方向上的误差估计
•   S7.3 空间方向上的误差估计
•   S7.4 主要结果的证明
•   S7.5 数值试验
• 第八章 总结与展望
• 参考文献
• 攻读博士期间的学术成果
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 杨怀君

导师: 石东洋

关键词: 非线性耦合方程,协调元和非协调元,半离散和全离散格式,超逼近和超收敛性质

来源: 郑州大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 郑州大学

分类号: O241.82

总页数: 145

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