关于形数与多边形的丟番图问题

论文摘要

丢番图方程是指未知数个数多于方程个数的多项式方程（或方程组）,是数论中最古老的一个分支.与丢番图方程有关的问题称为丢番图问题.“万物皆数,数是万物之本”,几何上的对称和优美赋予了形数极大的魅力.从数到形,在几何中,把由有限条线段连接成的封闭图形叫多边形.本文主要讨论了关于形数与多边形的丢番图问题.首先,我们研究了与三角形数相关的丢番图方程,讨论了两个三角形数的线性组合表为平方数.利用Pell方程的基本性质和同余理论,证明了当2n不是平方数,以及当n=d（t）/2时,其中d（t）为一些特殊多项式,则丢番图方程1+（y2）=z2,n∈Z+有无穷多的正整数解.当m,n取一些特殊值时,给出了丢番图方程m（x2）+n（y2）=z2,m,n∈Z+的无穷多的正整数解.当a,b,c取一些特殊值时,得到了丢番图方程z2=a（x2）2+b（x2）（y2）+c（y2）2,a,b,c∈Z有无穷多的正整数解.其次,我们考虑了 Heron三角形的边长为形数和直角三角形的边长为多项式的值.利用Pell方程的基本性质和待定系数法,证明了存在无穷多的等腰Heron三角形的边长为多角形数（除了平方数）和二项式系数.得到了无穷多的直角三角形的边长为一些特殊三次多项式的值.接着,我们研究了两个多边形有相同的面积和周长.利用Fermat方法,给出了无穷多的Heron三角形与菱形有相同的面积和周长.通过计算超椭圆曲线上的有理点,证明了不存在等腰三角形与菱形有相同的面积和周长.利用椭圆曲线的理论,得到了无穷多的（直角、等腰、Heron）三角形与（直角、等腰）梯形有相同的面积和周长.最后,我们提出了一些未解决的丢番图问题.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 课题研究背景
•   1.2 丢番图问题的概述
•   1.3 本文的结构与主要结论
• 第二章 基本知识介绍
•   2.1 同余及其性质
•   2.2 Pell方程
•   2.3 椭圆曲线
• 第三章 与三角形数相关的丢番图方程
•   3.1 两个三角形数的线性组合表为平方数
•     3.1.1 引言
•     3.1.2 定理的证明
• 2=a（x2）²+b（x2）（y2）+c（y2）²'>  3.2 丢番图方程z²=a（x2）²+b（x2）（y2）+c（y2）²
•     3.2.1 问题的介绍和主要结论
•     3.2.2 定理的证明
• 第四章 与多边形的边长相关的丢番图问题
•   4.1 Heron三角形的边长为形数
•     4.1.1 引言
•     4.1.2 定理的证明
•   4.2 直角三角形的边长为多项式的值
•     4.2.1 问题的介绍和主要结论
•     4.2.2 定理的证明
• 第五章 与多边形的面积和周长相关的丢番图问题
•   5.1 问题的介绍和主要结论
•   5.2 定理的证明
• 第六章 一些未解决的问题
•   6.1 与形数相关的丢番图方程
•   6.2 与多边形的边长相关的丢番图问题
•   6.3 与多边形的面积和周长相关的丢番图问题
• 参考文献
• 致谢
• 附录 （攻读学位期间所发表的学术论文目录）

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 彭俊瑶

导师: 张勇

关键词: 丢番图方程,形数,多边形,方程,椭圆曲线,整数解

来源: 长沙理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 长沙理工大学

分类号: O156.7

DOI: 10.26985/d.cnki.gcsjc.2019.000179

总页数: 84

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