摘要：近似数量系统是古老并具有进化基础的前人类的数感，它以独立模式与近似形式来表征和辨别数量。近似数量系统敏锐度反映了个体辨别数量时的精确程度，与个体数学成绩之间存在正相关关系。近些年来，很多研究通过近似数量系统敏锐度的训练来提高个体的符号数学成绩，但对训练效果的报告存在过度解释现象。本文阐述了近似数量系统敏锐度与符号数学能力的关系及相关训练研究，并从实验设计和理论偏向两个角度阐述近年来关于近似数量系统敏锐度训练研究存在的不足，指出未来研究应通过完善实验设计，明晰近似数量系统敏锐度与符号数学能力之间的深层关系，借助认知神经科学技术揭示其内在关系机制。
关键词：近似数量系统；近似数量系统敏锐度；符号数学能力；训练研究
一、引 言
数字是人类日常生活中不可缺少的部分，即便我们从未意识到对数字的依赖，但我们却无法摆脱依靠对数量的基本直觉来指导各种日常决策。例如，在等待结账时，我们并不需要精确地计算出排队等待的人数，便可以排除距离收银员的最长线路，从而选择一条相对较短的队伍等待，这种直觉就是“数字感觉”，这种非符号数量表征的核心成分就是近似数量系统(approximate number system, ANS)。ANS是一种古老的、具有进化基础的前人类的数感，它以独立模式与近似形式表征和辨别数量注SZUCS D, MYERS T. A critical analysis of design, facts, bias and inference in the approximate number system training literature: a systematic review[J]. Trends in neuroscience and education, 2017, 6:187-203.，它在不使用言语计数或数字符号的前提下，将数量表示为不精确的、有噪音的心理量级。因此，ANS也通常被认为是人类数学的直觉性前提注DEWIND K, ADAMS K, PLATT L, et al. Modeling the approximate number system to quantify the contribution of visual stimulus features[J]. Cognition, 2015, 142: 247-265.。ANS在个体进行数字活动的时候得以激活，并被认为是人类更高级的数学能力的基础。它是人类与多个物种共享的系统，并且跨越文化而广泛存在。婴儿早期便可使用ANS进行数量辨别，辨别数量时的精确度被称作ANS敏锐度，它随着个体的发展而不断提高[注]HYDE C, BERTELETTI I, MOU Y. Approximate numerical abilities and mathematics: insight from correlational and experimental training studies[J]. Progress in brain research, 2016, 227:335-345.。此外，相关研究表明，ANS敏锐度是人类独一无二的符号数学能力的认知基础。此观点的提出引起了大量旨在提高符号数学计算能力的ANS敏锐度训练研究[注]SZKUDLAREK E, BRANNON M. Does the approximate number system serve as a foundation for symbolic mathematics? [J]. Language learning & development, 2017, 13(2): 1-20.，为促进个体符号数学能力的发展提供指导，但相关研究也存在实验设计、结果解释等方面的不足，本文将对此进行着重阐述。
二、ANS敏锐度
ANS敏锐度表示个体近似数量表征的能力。相关研究表明，很多物种与人类一样拥有这种能力。处于前言语状态的婴儿已拥有抽象的数字概念和一定的数量操作能力，并且随着年龄的增长，该能力不断提高[注]MOU Y, VANMARK K. Two core systems of numerical representation in infants[J]. Dev. Rev, 2014, 34 (1):1-25.。
(一)ANS敏锐度指标
研究者通常采用数量对比任务来测量个体表征非符号数量的精确性，即ANS敏锐度[注]INGLIS M, GILMORE C. Indexing the approximate number system[J]. Acta psychol, 2014, 145 (11):147-157.。数量对比任务要求同时或继时呈现两组数量不同的点阵或物体，让个体辨别数量较多的组。完成该任务时需对实验材料的点数、点数累计面积、周长及呈现时间等因素进行控制，以确保个体对两个阵列的判断基于数量信息产生，判断方式是近似的而不是精确的。由于心理表征的近似性，个体在数量对比任务上的表现遵循韦伯定律，即个体对数量的表征依赖于它们之间的比率，而不是它们之间的绝对差异。如，2和1之间的绝对差异为1，比率为0.5，个体在进行判断时依据的是0.5，而不是绝对差异1，而数字比率越接近于1，数量辨别困难性越大[注]牛玉柏, 时冉冉, 曹贤才. 学前儿童近似数量系统敏锐度与符号数学能力的关系[J]. 心理发展与教育, 2016, 32(2), 129-138.。因此，韦伯系数越接近0，个体形成的内部心理数字表征越接近真实的数量，个体的韦伯系数越小敏锐度越高[注]SZUCS D, MYERS T. A critical analysis of design, facts, bias and inference in the approximate number system training literature: a systematic review[J]. Trends in neuroscience and education, 2017, 6: 187-203.。
此外，平均反应时、正确率、数字比率效应(numerical ratio effect, NRE)也是ANS敏锐度的指标[注]BUGDEN S, PRICE R, MCLEAN A, et al. The role of the left intraparietal sulcus in the relationship between symbolic number processing and children’s arithmetic competence[J]. Developmental cognitive neuroscience, 2012, 2:448-457.。NRE表示需要个体进行对比的两组点阵之间的比率越接近1，个体在任务中的正确率越低，反应时间越长。因而数值距离大的数字比数值距离小的数字更容易被区分(如，2 vs.7与2 vs.4相比，前者更易被区分)。虽然上述几种指标都曾用来判断个体ANS敏锐度水平，但正确率与韦伯系数之间的相关性很高(r=0.79)，NRE与正确率及韦伯系数之间的相关性则较低(r均小于0.65)。此外，NRE在幼儿群体上的重测信度极低，所以并不适合作为测量个体ANS敏锐度的指标。但相比之下，无论是在成年人样本中还是在儿童样本中，正确率的信度都是最高的，因而个体的正确率才是最简单的直接代表个体ANS敏锐度的指标[注]INGLIS M, GILMORE C. Indexing the approximate number system[J]. Acta psychol, 2014, 145 (11):147-157.。
以往虽有研究表明，韦伯系数受研究范式的影响较小，使不同范式下的研究具有可比性[注]MAZZOCCO M, FEIGENSON L, HALBERDA J. Impaired acuity of the approximate number system underlies mathematical learning disability (dyscalculia) [J]. Child development, 2011b, 82: 1224-1237.，但实际上无论是哪种指标，都会存在一定的差异，都会因研究范式的不同而有所变化。不同研究者关于ANS敏锐度与数学能力之间的研究结果的差异可能也是由测量指标的不同造成的，即便研究者在设计实验程序时已经尽力控制点数累计面积、周长等非数量因素，但研究结果却显示，个体会同时考虑数量与非数量因素来完成数量对比任务[注]GEVERS W, KADOSH C, GEBUIS T. Chapter 18-sensory integration theory: an alternative to the approximate number system[J]. Continuous issues in numerical cognition, 2016,7: 405-418.[注]HENIK A, GLIKSMAN Y, KALLAI A, et al. Size perception and the foundation of numerical processing[J]. Current directions in psychological science, 2017,26(1):45-51.。因此，相同的研究范式也会由于非数量信息的控制及个体差异的影响及其交互影响而出现不同的结果。所以，未来研究应该寻找严格控制额外变量的方法，并提高测量任务信度。
由图3可见，处于峰后状态的破裂岩石，蠕变变形速率明显大于峰前岩石，蠕变失稳时间大大缩短。由表1知，岩样HS4-1进行恒载蠕变，失稳时间为4.42h。岩样HS3-2、HS3-1进行分级加载蠕变，结果显示随着荷载比的加大，损伤减小后蠕变失稳时间并没有严格递增，这是由于分级加载所造成的试验误差。在分级加载蠕变试验中，前一级的加载会对试样造成一定程度的损伤，且随着加载级数的增加，试样的损伤会逐级累加，导致蠕变失稳时间并不完全准确。对此，采用线性回归的方法对HS3-1与HS3-2等速蠕变阶段进行处理，模拟恒载蠕变条件下蠕变失稳时间[1]。
(二)ANS敏锐度特点
1.ANS是多个物种共享的系统
这一番闲话，陆枫桥不明所以，只因他年幼，阅浅太浅。秦铁崖也是不甚了了，因他离京城太远，不懂高层运势。秦铁崖虽说在江湖上威名赫赫，在六扇门中人人敬仰，官阶却不高，食从六品俸禄，听起来比七品县令官阶高，但其永远坐不了正堂，除非朝廷赐给他功名。而他的上峰崔宝卷，虽说只是知府，算不得地方大员，却也官居从四品。
2.ANS敏锐度随年龄的增长而提高
石头是人类原始劳动的第一代生产工具，也是人类之初，在与自然界生存竞争中的核心竞争力所在，“石”来运转，是人类生存与发展的最初体验！
跨文化研究结果表明，近似数量辨别能力可以独立于语言、文化或者是教育而存在，即便是语言或文化中不存在正式数字系统的亚马孙原住民也拥有近似数量辨别的能力[注]GORDON P. Numerical cognition without words: evidence from amazonia[J]. Science, 2004, 306 (5695): 496-499.。并且以往研究发现，新生儿已可辨别比率为1∶3的非符号数量阵列[注]IZARD V, SANN C, SPELKE S, et al. Newborn infants perceive abstract numbers[J]. Proceedings of the national academy of sciences, 2009, 106(25): 10382-10385.；6个月大的婴儿对视觉阵列和听觉序列的辨别比率提高到1∶2[注]VANMARK K, WYNN K. Infants’ auditory enumeration: evidence for analog magnitudes in the small number range[J]. Cognition, 2009, 111: 302-316.；而9个月时则达到2∶3[注]LIBERTUS E, BRANNON M. Stable individual differences in number discrimination in infancy: number discrimination in infants[J]. Developmental science, 2010, 13(6): 900-906.。此外，Halberda等人的研究表明，ANS敏锐度在童年时期得到进一步提高，成年期的辨别比率则可达7∶8或10∶11，直至30岁时，个体的ANS敏锐度仍在提高[注]HALBERDA J, LY R, WILMER B, et al. Number sense across the lifespan as revealed by a massive internet-based sample[J]. Proceedings of the national academy of sciences, 2012, 109(28): 11116-11120.。以往研究揭示了个体近似数量辨别能力随年龄的增长而不断提高这一事实，但以往关于个体近似数量辨别能力发展轨迹的纵向研究并不多，是否个体ANS敏锐度的提高也会存在一个快速发展的时期呢？如果存在，那么这是否可以成为解释计算障碍产生的原因之一便值得进一步探讨。
甘油酯通常指由甘油和脂肪酸（包括饱和脂肪酸和不饱和脂肪酸）经酯化所生成的酯类。甘油酯是中性脂肪，是血脂肪的成分之一，扮演着贮存与输送的角色，大部分存在于乳糜微粒及极低密度脂蛋白内。甘油酯和胆固醇都是造成动脉硬化的危险因子，现代人吃得好，更要小心防范。
三、ANS敏锐度与符号数学能力的关系研究
1.实验设计影响对数据的解释
(一)正常个体ANS敏锐度与符号数学能力的关系研究
来自认知神经科学的研究指出，ANS敏锐度依赖顶叶后部的双侧顶内沟(intraparietal sulcus, IPS)对数字进行反应[注]CANTLON F, PLATT L, BRANNON M. Beyond the number domain[J]. Trends in cognitive sciences, 2009,13(2): 83-91.，成年个体比较阿拉伯数字、点阵比较任务时其双侧IPS的活动性与行为数据均表现出数量比例的调节作用[注]PIAZZA M, IZARD V, PINEL P, et al. Tuning curves for approximate numerosity in the human intraparietal sulcus[J]. Neuron, 2004, 44: 547-555.。当连续为个体呈现点阵或阿拉伯数字时，其脑血氧水平依赖(blood oxygen level dependent, BOLD)信号逐渐减小，只有呈现新数值(如从19变成50)时，其BOLD信号才恢复到原来的水平，这些改变都发生在大脑顶内横沟，表明个体在完成符号和非符号数量任务时脑区活动在结构上的重叠，为符号与非符号数量在双侧IPS中具有相同的神经编码提供了证据[注]COHEN R, BAHRAMI B, WALSH V, et al. Specialization in the human brain: the case of numbers[J]. Front human neuroscience, 2011, 5:62-72.，并且此重叠在大脑右侧IPS上的反应尤为明显[注]LUSSIER A, CANTLON F. Developmental bias for number words in the intraparietal sulcus[J]. Developmental science, 2017, 20(3): 1-10.。
ANS是一套人类与非人类动物共享的系统，从昆虫到灵长类动物都拥有数量辨别能力。来自对三刺鱼、知更鸟、大象的研究结果发现：它们能在不进行学习的前提下成功地选择数量较多的组别[注]PERDU M, TALBOT F, STONE M, et al. Putting the elephant back in the herd: elephant relative quantity judgments match those of other species[J]. Animal cognition, 2012, 15(5): 955-961.；而古比鱼在经过非强化探测性训练之后可以辨别出比率为0.75(如3∶4)的数量对[注]AGRILLO C, PETRAZZINI M, BISAZZA A. Numerical acuity of fish is improved in the presence of moving targets, but only in the subitizing range[J]. Animal cognition, 2014, 17(2): 307-317.。同样地，对灵长类动物的研究表明，猴子和人类一样可以通过使用ANS表征来进行加法或减法运算[注]CANTLON F, MERRITT J, BRANNON M. Monkeys display classic signatures of human symbolic arithmetic[J]. Animal cognition, 2016, 19(2): 405-415.。非人类动物中普遍存在数量辨别能力，为人类发展早期就已经拥有数量辨别能力的观点提供了证据。无论数字能力的进化起源如何，这些能力的普遍性表明，能够区分两组中较大一组的个体具有高度适应性[注]SZKIDLAREK E, BRANNON M. Does the approximate number system serve as a foundation for symbolic mathematics? [J]. Language learning & development, 2017, 13(2): 1-20.。
另外，纵向研究结果表明，婴儿及童年早期的ANS敏锐度对其后的数学能力[注]STARR A, LIBERTUS E, BRANNON M. Infants show ratio-dependent number discrimination regardless of set size[J]. Infancy, 2013,18 (6): 927-941.、学术成就及其在成年期的社会经济地位[注]RITCHIE J, BATES C. Enduring links from childhood mathematics and reading achievement to adult socioeconomic status[J]. Psychological science, 2013,24: 1301-1308.具有显著的预测作用。在控制个体的工作记忆、注意控制和言语的情况下，幼儿4岁时的ANS敏锐度可预测他们6个月之后的数学成绩，纵使间隔2年[注]LIBERTUS E, FEIGENSON L, HALBERDA J. Numerical approximation abilities correlate with and predict informal but not formal mathematics abilities[J]. J. Exp. child psychol, 2013b, 116 (4): 829-838.，结果依旧成立。这些研究均表明，非言语性质的ANS敏锐度在个体早期符号数学学习中发挥的关键作用。
(二)计算障碍个体ANS敏锐度与符号数学能力的关系研究
发展性计算障碍是一种特殊的学习障碍，其特征表现为无法顺利学习和记忆计算事实，不能顺利完成计算程序。与正常儿童相比，计算障碍儿童的ANS敏锐度更低，平均年龄为10.69岁的计算障碍儿童的ANS敏锐度仅相当于5岁正常儿童的ANS敏锐度，即使年龄较大的计算障碍儿童(如平均年龄为14.83岁)，其ANS敏锐度也显著低于同龄人中数学成绩处于平均水平的个体[注]MAZZOCCO M, FEIGENSON L, HALBERDA J. Preschoolers’ precision of the approximate number system predicts later school mathematics performance[J]. Plos one, 2011, 6:e23749.。这都成为证明ANS敏锐度与数学成就之间相关关系的证据来源[注]PINHEIRO P, WOOD G, KNOPS A, et al. In how many ways is the approximate number system associated with exact calculation? [J]. Plos one, 2014, 9(11): e111155.。Rousselle等人发现，计算障碍儿童在非符号数量辨别任务中表现出与正常儿童相同水平的错误率，但在数字对比任务中的正确率则低于正常儿童[注]ROUSSELLE L, NOEL P. Basic numerical skills in children with mathematics learning disabilities: a comparison of symbolic vs non-symbolic number magnitude processing[J]. Cognition, 2007, 102(3): 361-395.。这样的结果便引起了人们对计算障碍个体获取数字信息机制的研究，并提出相关假设来解释计算障碍儿童遇到的困难[注]MUSSOLIN C, MEJIAS S, NOEL P. Symbolic and non-symbolic number comparison in children with and without dyscalculia[J]. Cognition, 2010, 115(1): 10-25.。这些解释主要可以分为两种不同的假设，其最主要的区别在于探讨计算障碍是由前言语的数量感知系统核心成分的不足和符号数字加工的不足共同造成的，抑或是由其中的一种不足造成的。因此，以正常发展个体与计算障碍个体为被试的纵向研究或许能为这个问题的解决提供一些帮助。
以往研究揭示了训练能够提高ANS敏锐度并能影响个体在数学任务中的表现，而针对ANS敏锐度的个体差异研究较少[注]WANG J, ODIC D, HALBERDA J, et al. Changing the precision of preschoolers’ approximate number system representations changes their symbolic math performance[J]. Journal of experimental child psychology, 2016, 147: 82-99.。Odic等人曾指出个体的ANS敏锐度可以通过信心滞后效应加以调节，即个体成绩因其完成任务过程中所体验到的信心高低程度的不同而发生巨大变化[注]ODIC D, HOCK H, HALBERDA J. Hysteresis affects approximate number discrimination in young children[J]. Journal of experimental psychology general, 2014, 143(1): 255-265.，上述结果验证了ANS敏锐度具有个体差异性。这一研究结果也得到了Wang等人的支持。该研究发现，ANS与符号数学能力的相关关系仅存在于成绩较好的青少年个体中，在那些成绩较差的青少年个体中并未发现上述联系。这些结果使我们对ANS敏锐度的可塑性有了新的认识，同时这也引起了关于ANS敏锐度稳定性与可塑性的讨论。因先前的研究证明，个体当前ANS敏锐度对其未来ANS敏锐度[注]SOTO E, SIMMONS R, WILLIS C, et al. Identifying the cognitive predictors of early counting and calculation skills: evidence from a longitudinal study[J]. Journal of experimental child psychology, 2015, 140: 16-37.及数学成绩[注]MARLE V, CHU W, LI Y, et al. Acuity of the approximate number system and preschoolers’ quantitative development[J]. Developmental science, 2014, 17(4): 492-505.的预测作用均说明了ANS敏锐度的稳定性，而上述研究结果还证明了ANS敏锐度的可塑性。Wang等人将ANS敏锐度的稳定性视为一种特质，而将其可塑性视为一种状态，因而在不同经验(信心滞后效应)的影响下，个体的ANS敏锐度的状态会有所改变[注]WANG J, HALBERDA J, FEIHENSON L. Approximate number sense correlates with math performance in gifted adolescents[J]. Acta psychologica,2017, 176: 78-84.。但即便是证实了训练可以改变ANS敏锐度，却没有回答如何改变的问题。因此，未来研究还需对不同个体ANS敏锐度的可塑性机制做进一步探讨。
(三)ANS敏锐度与符号数学能力关系的认知神经科学研究
Halberda等人发现，14岁个体在非言语的近似能力上存在很大差异，并且该差异与其当前的数学标准测验成绩，甚至是幼儿园时的成绩均相关。随后这种相关便不断被发现于成人、学龄儿童个体甚至学龄前儿童身上，同时元分析的结果也支持这两者之间的关系[注]SCHNEIDER M, BEERES K, COBAN L, et al. Associations of non-symbolic and symbolic numerical magnitude processing with mathematical competence: a meta-analysis[J]. Developmental science, 2017, 20(3):1-11.。个体ANS敏锐度也影响其数学能力的发展。5岁幼儿的非言语数量辨别能力的改变可以迁移至幼儿符号数学任务的成绩上，证明了ANS敏锐度和符号数学能力之间的因果关系[注]WANG J, ODIC D, HALLERDA J, et al. Changing the precision of preschoolers’ approximate number system representations changes their symbolic math performance[J]. Journal of experimental child psychology,2016, 147: 82-99.。
双侧IPS虽有重叠，但也有差异。认知发展研究表明，在婴儿时期，ANS的神经特征就已在右侧IPS中显现，随着个体的发展及符号数字系统的获得，数字表征越来越多地出现在左侧IPS[注]ANSARI D. Effects of development and enculturation on number representation in the brain[J]. Nature reviews neuroscience, 2008, 9: 278-291.。Emerson等人的研究表明，与数字相关的非符号刺激在儿童右侧IPS脑区上引起了更大的激活，相比较而言，精确的符号任务比非符号任务在左侧IPS上产生更大的激活[注]EMERSON W, CANTLON F. Continuity and change in children’s longitudinal neural response to numbers[J]. Developmental science, 2015, 18(2): 314-326.，左侧IPS成为符号数字的特异性脑区[注]HOLLOWAY D, PRICE R, ANSAR D. Common and segregated neural pathways for the processing of symbolic an non-symbolic numerical magnitude: an fMRI study[J]. Neuroimage, 2010, 49: 1006-1017.。总之，认知神经科学的研究结果表明，个体ANS敏锐度与符号数学能力的生物基础存在结构上的重叠，为进一步探讨ANS敏锐度与数学认知能力之间的关系以及ANS敏锐度的认知基础地位提供了有力证据。
四、ANS敏锐度的训练研究及不足
以往研究揭示了ANS敏锐度与个体符号数学能力存在的正相关性[注]KELLER L, LIBERTUS M. Inhibitory control may not explain the link between approximation and math abilities in kindergartners from middle class families[J]. Frontiers in psychology, 2015, 6: 685-695.以及对个体之后数学成就的预测作用[注]SOTO E, SIMMONS R, WILLIS C, et al. Identifying the cognitive predictors of early counting and calculation skills: evidence from a longitudinal study[J]. Journal of experimental child psychology, 2015, 140: 16-37.[注]SZKUDLAREK E, BRANNON M. Does the approximate number system serve as a foundation for symbolic mathematics? [J]. Language learning & development, 2017, 13(2): 1-20.。因而研究者提出通过训练来提高个体ANS敏锐度进而促进符号数学能力的假设，试图验证ANS敏锐度的认知基础地位，并为提高数学能力的干预研究提供实践指导[注]PARK J, BERMUDEZ V, ROBERTS C, et al. Non-symbolic approximate arithmetic training improves math performance in preschoolers[J]. Journal of experimental child psychology, 2016, 152: 278-293.。然而个体符号数学能力的提高是完全归因于训练的迁移效果，还是由于个体差异的存在导致了任务中的不同表现尚不明确。对ANS敏锐度训练研究及其不足的探讨为回答上述问题提供了依据。
(一)基于ANS敏锐度的训练研究
为了改善路面结构，需要在沥青路面改造的基础上进行性能测试，选择关键指标，将技术标准体系合理完善后实际应用具体化以验证其可行且实用。得到的结论有：以路面改造的需求为基础，讨论其改造前的使用性能以及养护针对性，由此确立其改造指标，只有车辙、强度等全方面考虑到位后才能更好地完成改造工作。关键指标的建立有利于进行理论研究，在与典型实例结合后方可验证指标的合理可行，更有利于改造工作的指导。以关键指标为标准确定评价指标是否合理可行，检查原路面结构选择部分路段进行铣刨重铺。事实证明关键指标体系的确立确实满足实际需求，该理论可应用于实际当中，效果良好，可指导有关路面改造工程的进行。
(二)ANS敏锐度训练的个体差异
在模板使用之后和混凝土浇筑之前，应清洗干净并涂刷脱模剂。测量放样后安装模板，为了保证施工进度，把普通钢模板组合成15 m2左右的大模板，用25 t汽车起重机进行吊装，人工辅助安装；模板副龙骨为1.5寸钢管或4×9 cm木龙骨，主龙骨为12号槽钢，对拉杆固定模板。模板安装过程中，保持足够的临时固定设施，以防倾覆；箱涵内采用碗扣架作为支撑，箱涵外部采用双排外脚手架作为钢筋绑扎及模板安装的辅助设施。模板与混凝土接缝需平整密实。混凝土浇筑过程中派专人看模，发现问题及时处理。
Park和Brannon发现，近似计算任务(一个需要基于ANS敏锐度对数量进行的心理操作任务)的成绩能够通过训练得以提高，并且基于ANS敏锐度的提高也可促使符号计算能力的发展。但其实验中除近似计算任务组和不进行训练的对照组之外，并未设置其他训练条件组，这样的分组导致霍森效应的出现，影响了真实的结果[注]PARK J, BRANNON M. Training the approximate number system improves math proficiency [J].Psychological science, 2013, 24(10): 1-10.。因此，Park等人在原有训练类型上，增加了数字排序组(按顺序对三个数字进行排序)和一般常识知识组。尽管相对于ANS敏锐度计算训练来说，数字排序任务与符号数学能力的联系更加紧密。但研究结果依然表明，ANS敏锐度计算任务对个体符号数学成绩的提高更加有效。Park和Brannon在2014年再次改进实验，增加了非符号近似对比任务(该任务被认为可以提高个体ANS的精确性)组、视觉—空间短时工作记忆组以及一个补充实验，但结果依然只有近似计算组符号计算的后测成绩显著提高。这说明ANS敏锐度计算训练在符号数学能力发展中具有特殊的迁移作用，表明非符号计算能力和符号计算能力拥有共同的认知基础。这是一种有效提高幼儿数学能力的训练方法。尽管Park等人的研究结果突破性地证明了ANS敏锐度与符号数学能力之间的因果关系，但并未探讨这两者之间发生迁移的机制；并且，直接从成人的研究结论推至幼儿群体，未免有失偏颇。
夜渐渐地深了，凉棚里也安静了下来，亲友们都找到了躺处，姗姗离去；最后只剩下三五个至亲零零散散地坐在外面打瞌睡，但没有看见高木，他大概回麦村去了。黄方永玩累了，像煨灶猫一样缩在母亲的怀里。小家伙浑身是汗，头发湿搭搭的。桃花轻轻地抱起他，去了里屋，把他放在自己的小床上。小家伙着床时呜咿了几声，在桃花的轻拍下，终于甜甜地入睡了。
(三)当前ANS敏锐度训练研究存在的不足
ANS敏锐度在人类的数学计算学习中发挥重要作用，虽有研究曾指出ANS敏锐度具有很大个体差异，但在控制智力等一般能力之后，ANS敏锐度与其数学成绩之间的相关性依旧显著[注]牛玉柏, 时冉冉, 曹贤才. 学前儿童近似数量系统敏锐度与符号数学能力的关系[J]. 心理发展与教育, 2016, 32(2): 129-138.。所以，ANS敏锐度与人类独有的符号数学能力之间的密切联系不可否认[注]DILLON R, PIRES C, HYDE C, et al. Children’s expectations about training the approximate number system[J]. British journal of developmental psychology, 2015, 33(4): 411-422.。与此同时，逐渐累积的行为和神经研究结果也表明，ANS敏锐度和符号数学加工两者存在功能上的交织[注]NOEL P, ROUSSELLE L. Developmental changes in the profiles of dyscalculia: an explanation based on a double exact-and-approximate number representation model[J]. Frontiers in human neuroscience, 2011, 5:1-10.。笔者将分别从正常个体的ANS敏锐度、计算障碍个体的ANS敏锐度及ANS敏锐度脑机制研究三个方面总结其与符号数学能力的关系。
以往研究的一致认同展示了Park等人关于ANS敏锐度和符号计算之间的因果关系结论的不可撼动的地位，及其对人类数字认知理解的深远意义[注]HYDE C, KHANUM S, SPELKE S. Brief non-symbolic, approximate number practice enhances subsequent exact symbolic arithmetic in children[J]. Cognition, 2014, 131 (1): 92-107.。但当我们结合Park等人的研究方法及其解释方式来看，其结论是存在问题的。首先，他们的实验采用了心理物理学中的辨别阈限法，在训练过程中，参与者的任务难度会根据其在此前所完成的20个试次中的表现进行调整，如果这20个试次的正确率高于85%，那么难度就会提高；如果低于70%，难度就会降低。那么通过训练过程中参与者的表现及其后测的数据可以看出，经过一定的训练之后，参与者的任务难度会稳定在某一个固定级别上，并且学习的能力也得到了提高。因而这样的结果乍一看会让人觉得在短短的25分钟之内，不同条件下的参与者的能力都得到了飞速提升，但仔细阅读数据不难看出，Park等人在参与者完成任务时所选取的起始难度甚至比以往研究中已经发现的6个月的婴儿可辨别的任务的难度还要低。并且以往研究已经证明，个体的ANS敏锐度会随着时间的推移而逐渐提高[注]MOU Y, VANMARLE K. Two core systems of numerical representation in infants[J]. Developmental review, 2014, 34 (1): 1-25.。所以，随着时间的推移，参与者的ANS敏锐度逐渐达到更高的水平并不奇怪。因而，参与者能力的提高并不能全部解释为训练的结果。
另外，无关变量的控制也会影响对实验结果的解释。尽管Odic等人坚定地认为简短训练可以改变ANS敏锐度，进而影响个体的数学成绩，但该研究没有对个体的前测成绩进行收集，这些差异是否是由两组被试的差异而引起的则无法解释清楚。在这样的情况下还依然认为ANS敏锐度与符号数学成绩之间存在因果关系，是执意采取ANS理论解释结果的表现。因而在未来的研究中，研究者应该明确ANS的操作性定义，选择与研究目的相符的训练任务，提高训练结果的说服力；在设计训练任务时要合理控制额外变量，明确训练任务的训练成分，保证训练任务的信、效度，同时也避免对训练结果过度解释的现象发生。只有在结合上述几点要求的基础上的研究结果才能明晰个体ANS敏锐度与数学成绩之间的关系，并进一步探讨两者关系的机制，在实际教学中为训练提供正确的教育指导。
2.结果解释的ANS理论偏向
Park等人的两个研究共设置了五种不同的训练任务组，但实验结果均表明，只有近似计算任务组的参与者的符号计算成绩得到提高，但在其后续讨论中并没有解释清楚近似计算任务中哪种成分引起该组参与者成绩的提高。一方面，Park等人在研究中使用的训练任务所涉及的认知成分范围较广，或许每个成分都对参与者成绩的提高发挥了不同的作用；另一方面，Park在研究中采用近似点阵对比任务提高ANS敏锐度，但是该组参与者训练后的成绩并没有显著提高，同时补充实验中的训练任务与近似计算任务相比，少了与计算相关的训练，但该组参与者训练后的成绩同样没有显著提高，这就说明并不是因为参与者ANS敏锐度的提高而使其符号计算成绩提高，更可能是训练任务中的认知计算操作使其符号计算成绩得到提升。但由于研究者在解释结果时具有强烈的ANS理论偏向，并未试图通过别的理论去解释当前的结果，因而研究者在其实验设计和理论指导下的结论不免有失偏颇[注]SZUCS D, MYERS T. A critical analysis of design, facts, bias and inference in the approximate number system training literature: a systematic review[J]. Trends in neuroscience and education, 2017, 6: 187-203.。
此外，当前关于ANS敏锐度训练的多数研究对于文献的引用都存在选择性偏差，研究者对于ANS敏锐度与个体符号数学能力之间的因果关系存在一致认同的局面[注]MOU Y, VANMARLE K. Two core systems of numerical representation in infants[J]. Developmental review, 2014, 34 (1): 1-25.。截至目前，依然没有相关研究表明训练任务可以对ANS敏锐度产生直接的影响[注]AU J, JAEGGI M, BUSCHKUEHL M. Effects of non-symbolic arithmetic training on symbolic arithmetic and the approximate number system[J]. Acta psychologica,2018, 185: 1-12.。并且多数研究的结论与解释都建立在支持ANS理论的基础上，但实际上还有感觉统合系统可以更好地解释人类的近似数量估计和符号数字之间的关系[注]GEBUIS T, KADOSH C, GEVERS W. Sensory-integration system rather than approximate number system underlies numerosity processing: a critical review[J]. Acta psychologica,2016, 171: 17-35.。
五、总结与展望
(一)通过完善实验设计明晰深层关系
尽管先前大量研究已经揭示了ANS敏锐度与数学计算、数学成绩之间的相关关系，但也有研究并未发现这两者之间的联系[注]LYONS M, PRICE R, VAESSEN A, et al. Numerical predictors of arithmetic success in grades 1-6[J]. Developmental science, 2014, 17(5): 714-726.。这种矛盾结果的出现提示我们思考哪些因素影响了我们对于ANS敏锐度与数学能力之间关系的清晰判断。尽管不少研究者表明想要同时完美控制与刺激无关的所有非数量因素近乎是不可能的[注]LEIBOVICH T, ANSARI D. The symbol-grounding problem in numerical cognition: a review of theory, evidence, and outstanding questions[J]. Canadian journal of experimental psychology revue canadienne de psychologie expérimentale, 2016, 70(1): 1-12.，但这并不能成为我们不严谨的借口。因此，未来关于两者之间关系的研究应该有效分离不同成分之间的干扰，提高实验设计的信度。以往研究通常对非符号任务进行训练，对符号任务前后测成绩进行分析，这是一种单一的间接训练。未来的研究可以丰富实验设计，提高训练和测量任务水平，通过不同水平结果间的交互作用揭示相关关系背后更精确的深层联系。
(二)借助认知神经科学技术揭示内在关系机制
尽管前人在关于ANS敏锐度与数学能力之间的关系研究上不断完善，但也应该突破关系研究的舒适圈，从而对于两者之间关系的机制进行探讨[注]SZKUDLAREK E, BRANNON M. Does the approximate number system serve as a foundation for symbolic mathematics? [J]. Language learning & development, 2017, 13(2): 1-20.。关于两者机制的研究其中一个假设认为，较好的ANS敏锐度促进了年幼儿童通过对数序原则的理解而获得的早期数字词汇的ANS表征[注]SZUCS D, MYERS T. A critical analysis of design, facts, bias and inference in the approximate number system training literature: a systematic review[J]. Trends in neuroscience and education, 2017, 6: 187-203.。但Pinhas及其同事采用事件相关电位技术对两者关系的机制进行的研究表明，儿童在掌握数序原则之前就可以对数字词汇进行ANS表征[注]PINHAS M, DONHUE E, WOLDORFF G, et al. Electrophysiological evidence for the involvement of the approximate number system in preschoolers’ processing of spoken number words[J]. Journal of cognitive neuroscience, 2014, 26(9): 1891-1904.。由此也可看出，关于ANS敏锐度与数学能力之间关系的机制探讨并没有得到确切的结论，还只处于研究的起始阶段。然而除了事件相关电位技术外，脑成像技术(如借助多体素模式分析技术或具象相似性分析技术)也可让我们看到个体脑区在表征非符号和符号数字时的细微差别。因此，未来的研究可以采用认知神经科学技术了解不同数字形式的表征模式，以此揭示ANS敏锐度与符号数学能力关系的内在机制。
Relationbetweenapproximatenumbersystem(ANS)acuityandsymbolicmathability,ANStrainingstudiesandprospects
Liu Wen， Qin Mengyuan
(SchoolofPsychologicalScience,LiaoningNormalUniversity,Dalian116029，China)
Abstract:Approximate number system(ANS) is an ancient, evolutionarily grounded pre-human sense of magnitude which represents numerosity (the number of items) in a modality-independent and approximate manner and it enables magnitude discriminations. ANS acuity is mark of individual’s ability of ANS development. And previous studies suggest that there is a significant positive correlation between ANS acuity and uniquely human symbolic math ability and a causal relationship between ANS acuity and math performance. In order to prove the proposal that ANS as a foundation of symbolic representations of number and provide the correct practical implications for interventions aimed at improving math ability, many training studies of ANS acuity aimed to train ANS with the intention of transferring improvements to symbolic math performance, while results are overinterpreted in some papers. Future study should clarify the deep relationship of ANS and math ability by perfecting the experimental design and reveal its intrinsic relationship mechanism by means of cognitive neuroscience.
Keywords:approximate number system；approximate number system acuity；symbolic math ability；training studies
DOI：10.16216/j.cnki.lsxbwk.201901040
收稿日期：2018-05-29
基金项目：合生元营养与护理研究基金项目“对3～4岁幼儿用平板电脑和面对面教育效果的比较研究”(BINCMCF1501)；教育部人文社会科学研究规划基金一般项目“儿童公平发展特征及干预研究”(15YJA190004)
作者简介：刘 文(1965- )，女，北京市人，辽宁师范大学教授，博士生导师，主要从事发展心理学研究。
中图分类号：B844
文献标识码：A
文章编号：1000-1751(2019)01-0040-08
〔责任编辑：张秀红〕
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