三类分数阶和变分数阶微分方程的高精度数值方法研究

论文摘要

随着分数阶微积分理论研究的不断深入,分数阶微分理论已经广泛应用到物理学、工程科学、生物学等各个领域中。在分数阶微分理论快速发展的过程中,变分数阶微分理论随之不断发展,且依据变分数阶导数的灵活性,可以有效地分析问题。因此,运用函数逼近的算法得到分数阶和变分数阶方程中的数值解值得研究。本文采用移位Chebyshev多项式逼近算法,对分数阶非线性Sine-Gorden方程,变分数阶变系数非线性微分方程和变分数阶偏微分方程组进行探讨。首先,论文介绍了分数阶非线性Sine-Gorden方程的物理背景。基于分数阶Caputo型的微分和移位Chebyshev多项式基本定义,结合函数逼近的思想,推导整数阶和分数阶微分算子矩阵,通过离散变量得到代数方程的形式,从而求得分数阶非线性Sine-Gorden方程的数值解。其次,论文根据变分数阶理论知识,得到非线性乘积微分算子矩阵和变系数乘积微分算子矩阵,并应用到变分数阶变系数非线性微分方程中,通过选取合适的配点求得微分方程的数值解。之后,应用误差校正理论对数值解进行校正。最后,论文利用函数逼近的格式,得出二元函数的逼近式,为研究变分数阶偏微分方程组奠定了基础。根据变分数阶微分算子的变化形式,得出对时间和空间的变分数阶微分算子矩阵,进而求解出变分数阶偏微分方程组的数值解并进行误差校正。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
•   1.1 分数阶微积分的发展背景
•   1.2 变分数阶微积分的研究背景
•   1.3 函数逼近理论的理论背景
•   1.4 研究意义及结构概述
•     1.4.1 研究意义
•     1.4.2 论文的结构概述
• 第2章 分数阶非线性Sine-Gorden方程的移位Chebyshev多项式数值解法
•   2.1 基础知识
•     2.1.1 分数阶微分的基础知识
•     2.1.2 移位Chebyshev多项式的基础知识
•   2.2 分数阶非线性Sine-Gorden方程的数值解法
•     2.2.1 函数逼近
•     2.2.2 整数阶移位Chebyshev多项式微分算子矩阵
•     2.2.3 分数阶移位Chebyshev多项式微分算子矩阵
•     2.2.4 算法构造
•   2.3 收敛性分析
•   2.4 数值算例
•   2.5 本章小结
• 第3章 变分数阶变系数非线性微分方程的移位Chebyshev多项式数值解法
•   3.1 变分数阶微分理论
•     3.1.1 变分数阶微积分定义
•     3.1.2 变分数阶微积分性质
•   3.2 数值算法
•     3.2.1 变分数阶移位Chebyshev多项式微分算子矩阵
•     3.2.2 非线性项的处理
•     3.2.3 算法描述
•   3.3 误差分析
•     3.3.1 误差校正
•     3.3.2 校正解的绝对误差界
•   3.4 数值算例
•   3.5 本章小结
• 第4章 变分数阶偏微分方程组的移位Chebyshev多项式数值解法
•   4.1 二元函数逼近格式
•   4.2 数值解法构造
•   4.3 数值算例
•   4.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间承担的科研任务与主要成果
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 张兴军

导师: 刘乐春,陈一鸣

关键词: 移位多项式,分数阶非线性方程,变分数阶偏微分方程组,数值解,变分数阶微分算子矩阵,误差校正

来源: 燕山大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 燕山大学

基金: 河北省自然科学基金“基于小波函数和 Bernstein 多项式的分数阶系统数值方法研究”,项目编号:A2017203100

分类号: O241.8

DOI: 10.27440/d.cnki.gysdu.2019.001494

总页数: 60

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