一种非线性微分方程的亚纯解

论文摘要

20世纪20年代,芬兰著名数学家Rolf Nevanlinna[21]引进了亚纯函数的特征函数,并以此证明了第一和第二两个基本定理,其中第二基本定理极大的推广了Picard定理,从而建立了亚纯函数值分布理论,这是近代数学最重要的理论之一。为了纪念他的杰出贡献,该理论又被称为Nevanlinna理论。经过几十年不断的研究与完善,Nevanlinna理论已经非常成熟,并在许多其他数学领域发挥了很大作用,比如亚纯函数唯一性理论,复微分方程理论,复差分方程理论,丢番图逼近论,非阿基米德分析,正规族理论以及复动力系统理论中,都可以看到Nevanlinna理论的身影。长久以来,对于微分方程的研究一直是数学上的一个热门方向,有许许多多的数学家为此做出了巨大的贡献,发明了各式各样的理论和方法,或是从其他理论中另辟蹊径,寻找解决问题的途径,从而促进了不同数学分支间的联系,推动了整个数学学科的发展。非线性微分方程是其中的一个重要分支,至今仍有许多未解决的问题等待人们去探索。数学家在研究微分方程的过程中,发现复分析中的值分布理论可以运用到讨论微分方程解的过程中去,由此,值分布理论在解决微分方程问题中发挥了作用,也引起了关注。在众多的问题中,证明给定微分方程的整函数或亚纯函数解的存在性以及给出解的形式,一直是一个有趣且非常困难的问题。本文主要研究一种特殊的非线性微分方程fn+Pd（f）=h的一种特殊情况。其中,Pd（f）是f的阶为d的微分多项式,即以f和它的各阶导数作变量,总阶数不超过d,系数是f的小函数的多项式。h是一个给定的整函数或亚纯函数。这个问题自2006年由杨重骏教授提出后,已经得到了许多结果。本文在已有的基础上,运用他们的方法,证明了一条引理,并讨论在特殊条件下一条定理的可能结果。本文具体安排如下:第一章介绍了Nevanlinna理论的一些基本概念,比如特征函数和小函数,以及第一和第二两个基本定理,亚纯函数多项式的特征函数和Milloux定理。第二章则是推广了陆小庆等人关于解一类微分方程的结果,通过在原方程中添加一项未知项而将已有结果变为特殊情况,得到的具体结果如下:引理2.6.假设f（z）是亚纯的,且在复平面上不恒为常数,g（z）= fn + m（z）fn-1（z）+ Pn-2（f）这里的m（z）是f（z）的小函数,Pn-2（f）是f的微分多项式,阶至多为n-2,还有N（r,f）+N（r,1/g）=S（r,f）.那么g(z=（f+m/n）n,Pn-2（f）=（f+m/n）n-fn-mfn-1.定理.令n≥3是一个整数,Pn-2（f）是f的微分多项式,阶至多为n-2。p1（z）,p2（z）和h（z）是f（z）的非零小函数,a1（z）,a2（z）是非常数整函数.如果f（z）是一个下列非线性微分方程fn+h（z）fn-1（z）+ Pn-2（f）=p1（z）eα1（z）+p2（z）eα2（z）的超越亚纯解,且满足N（r,f）=S（r,f）。那么,有以下几种情况:（Ⅰ）当T（r,eα1）=S（r,eα2）时,（f+h/n）n=p2（2z）eα2（z）。类似的,当T（r,eα2）=S（r,eα1）时,（f+h/n）n=p1（z）eα1（z）（Ⅱ）当T（r,eα1）= O（T（r,eα2））且T（r,eα2）= O（T（r,eα1））。在此条件下,T（r,f）= O（T（r,eα1））= O(T（r,eα2）,S（r,f）=S（r,eα1）= S（r,eα2）,我们用T（r）和S（r）分别表示这两个等式。则有以下结果:（ⅰ）当p1（p’2+p2α’2）-p2（p’1+p1α’1）≡0时,有（f+h/n）n=（φρ1 +p2）eα2,这里的φ=eα1-α2;（ⅱ）当（p’2+p2α’2）Pn 2（f）-p2P’n-2（f）≡0时,若Pn-2（f）≡0,则T（r,eα1/fn-1）=O（T（r,f））,T（r,eα2/fn-1）=O（T（r,f））;若Pn-2（f）≠0,则当Pn-2（f）=p2（z）eα2（z）时,可得h（z）≡ 0,fn=Pl（z）eα1（z）;当Pn-2（f）≠p2（z）eα2（z）时,有（f+h/n）n=P1（z）eα1（z）。（ⅲ）（p2+p2α2）Pn-2（f）-p2Pn-2（f）（?）0,当（p2+p2α2）Pn-2（f）-P2Pn-2（f）=[p1（p2+p2α2）-p2（p1+p1α1）]eα1时,函数f满足方程（p2 +P2α2）f +（hp2+hp2α2-p2h）f-np2ff-（n-1）p2hf=0同时在第二章中对于一些特殊情况,进行了举例。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 预备知识
•   §1.1 引言
•   §1.2 Nevanlinna理论的基本定义
•   §1.3 Nevanlinna理论的两个基本定理
•   §1.4 本文用到的其它重要定理
• 第二章 一类特殊的非线性微分方程
•   §2.1 引言及背景
•   §2.2 已有的结果
•   §2.3 证明过程
•   §2.4 举例
• 第三章 全文总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 学位论文评阅及答辩情况表

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 赵泽宇

导师: 扈培础

关键词: 值分布,亚纯函数,非线性微分方程

来源: 山东大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 山东大学

分类号: O175

总页数: 34

文件大小: 1460K

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