两种求解随机微分方程数值方法的稳定性与收敛性

论文摘要

随机微分方程（SDE）作为一门确定性现象和不确定现象相结合的学科,能更精确地刻画自然界中诸多对象的运动规律,现已普遍应用在金融经济、物理学、系统生物学、工程技术等各个领域中。但是,与常微分方程相比,随机微分方程的解析解更难得到,所以大多数情况下需要用数值方法来近似求解。因此,寻找有效的数值方法显得尤其重要。本文主要提出了两种求解随机微分方程的数值方法,并讨论了这两种数值方法的稳定性以及收敛性。1、概括了随机微分方程数值解收敛性和稳定性的一些概念,介绍了几种比较常见的经典数值方法,然后通过数值算例验证了Heun方法的强收敛阶,最后给出了Heun方法和θ-Heun方法的均方（MS）稳定函数,并画出各自的均方稳定域图。2、提出了两种新的数值方法,一种是对梯形Euler方法进行改进得到的混合Euler方法;另一种是对Heun方法进行改进得到的复合Heun方法。3、对改进的混合Euler方法的稳定性与收敛性进行讨论。首先利用均方稳定的定义,给出了混合Euler方法的均方稳定性,并求出了相应的均方稳定域;其次利用数值解收敛性的定义,分别给出了混合Euler方法的几种不同的收敛阶;最后通过数值算例验证了混合Euler方法的均方稳定性,并将混合Euler方法和梯形Euler方法得到的数值解分别与精确解做了对比。4、对改进的复合Heun方法的稳定性与收敛性进行讨论。首先给出了复合Heun方法的均方稳定性以及指数稳定性;其次证明了它们之间的相互等价性;再次研究了复合Heun方法的几种不同的收敛阶;最后利用数值算例验证了复合Heun方法的均方稳定性,并将复合Heun方法和Heun方法得到的数值解分别与精确解做了对比。

论文目录

• 摘要
• abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 研究的背景及意义
•   1.2 国内外研究现状
•     1.2.1 数值方法收敛性
•     1.2.2 数值方法稳定性
•   1.3 本文的主要研究内容
• 第二章 随机微分方程的基础知识
•   2.1 随机过程
•     2.1.1 随机过程
•     2.1.2 布朗运动
•   2.2 两类积分
•     2.2.1 It?积分与Stratonovich积分
•     2.2.2 It?积分的性质
•   2.3 链式法则
•     2.3.1 随机微分
•     2.3.2 It?公式
•     2.3.3 Stratonovich链式法则
•   2.4 随机微分方程
•     2.4.1 It?型随机微分方程
•     2.4.2 Stratonovich型随机微分方程
•     2.4.3 随机微分方程解的存在性和唯一性
•     2.4.4 转换法则
•   2.5 一些有用的不等式
•     2.5.1 Cauchy-Schwarz不等式
•     2.5.2 Jensen’s不等式
•   2.6 本章小结
• 第三章 经典的数值方法
•   3.1 随机微分方程的理论解
•   3.2 数值解的收敛性与稳定性
•     3.2.1 数值解的收敛性介绍
•     3.2.2 数值解的稳定性介绍
•   3.3 数值方法
•     3.3.1 欧拉方法
•     3.3.2 Heun方法
•     3.3.3 Milstein方法
•   3.4 数值实验
•     3.4.1 验证Heun方法的强收敛阶
•     3.4.2 Heun方法和θ-Heun方法的均方稳定域
•   3.5 本章小结
• 第四章 混合Euler方法的稳定性与收敛性
•   4.1 混合Euler方法
•   4.2 混合Euler方法的稳定性
•   4.3 混合Euler方法的收敛性
•   4.4 数值实验
•     4.4.1 验证混合Euler方法的均方稳定性
•     4.4.2 混合Euler方法和梯形Euler方法分别与精确解的对比
•   4.5 本章小结
• 第五章 复合Heun方法的稳定性与收敛性
•   5.1 复合Heun方法
•   5.2 复合Heun方法的稳定性
•   5.3 复合Heun方法的收敛性
•   5.4 数值实验
•     5.4.1 验证复合Heun方法的均方稳定性
•     5.4.2 复合Heun方法和Heun方法分别与精确解的对比
•   5.5 本章小结
• 总结与展望
•   总结
•   展望
• 参考文献
• 攻读学位期间取得的研究成果
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 王彩霞

导师: 张引娣

关键词: 随机微分方程,混合方法,复合方法,均方稳定性,均方收敛性

来源: 长安大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 长安大学

分类号: O241.8

总页数: 57

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