非线性Kirchhoff型椭圆方程的最低能量解

论文摘要

本文主要讨论如下形式的Kirchhoff型椭圆方程-（a+b∫R3|▽u|2dx）△u+V（x）u=μu+|u|p-1u,x∈R3,u∈H1（R3）,（0-1）其中常数a,b>0,μ为正参数,p∈（3,5）,位势V（x）∈C（R3,R+）并且满足条件:（V1）当|x|→∞时,V（x）→∞.方程（0-1）的解可以通过寻找带权Sobolev空间H={u∈W1,2（R3）:∫R3V（x）u2dx<∞}上的如下能量泛函Iμ（u）:H→R的临界点得到Iμ（u）=1/2∫R3a|▽u|2+V（x）u2dx+b/4（∫R3|▽u|2dx）2-μ/2∫R3u2dx-1/p+1∫R3|u|p+1dx.令μ1是Schrodinger算子-△+V的第一特征值,当0<μ<μ1时,对任意的p∈（3,5）以及满足条件（V1）的位势函数V（x）,用Nehari流形约束方法很容易证明方程（0-1）存在最低能量解,但是,当μ≥μ1时,对上述问题该方法将不再适合.本文主要利用现代变分法中的山路引理、Ekeland变分原理以及对称山路引理等方法并结合一些分析技巧得到了方程（0-1）在μ≥μ1时非平凡解的存在性、最低能量解的存在性以及无穷多解的存在性.首先,我们利用山路引理证明了对任意给定的b>0,一定存在某个δ（b）>0使得对任意的μ∈[μ1,μ1+δ（b）),方程（O-1）总有非平凡解uμ∈H并且Iμ（uμ）>0.在此基础上,我们进一步讨论了这些非平凡解对参数μ的依赖性,并证明了任意序列{μn}（?）[μ1,μ1+δ（b）):μn→nμ1,则μn相对应的方程非平凡解uμn在H中强收敛到uμ1,uμ1为μ1所对应的方程（0-1）的解且I’μ1（uμ1）=O和Iμ1（uμ1）>0.在这个过程中,由于所研究的问题含有带梯度的非局部项,通常的方法不能直接用来验证相应的能量泛函满足P-S条件,本文通过具体分析P-S序列相关子列的极限性质最终克服了这一困难,这也是本文的主要难点之一.为了寻找最低能量解,我们通过研究合适的极小化问题并利用Ekeland变分原理,证明了对于任意给定的b>0,存在更小的δ1（b）∈（0,δ（b））,使得当μ∈（μ1,μ1+δ1（b））时,方程（0-1）存在非负最低能量解uμ∈H且Iμ（uμ）<0.此时,对于序列{μn}（?）（μ1,μ1+δ1（b））,μn→nμ1,则μn对应的方程最低能量解uμn在H中强收敛到0.最后,我们还利用对称山路引理证明了对任意给定的μ∈R,方程（0-1）存在无穷多个非平凡解.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
•   1.1 研究背景及发展现状
•   1.2 本文的研究内容及结构安排
•     1.2.1 研究的问题和主要结论
•     1.2.2 本文结构安排
• 第2章 预备知识和重要引理
•   2.1 预备知识
•   2.2 重要引理及证明
•   2.3 本章小结
• 第3章 主要结论的证明
•   3.1 非平凡解的存在性
•   3.2 最低能量解的存在性
•   3.3 无穷多解的存在性
• 第4章 总结与展望
•   4.1 论文总结
•   4.2 展望
• 致谢
• 参考文献
• 攻读硕士学位期间发表论文情况

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 柳志德

导师: 周焕松

关键词: 变分法,山路引理,方程,非平凡解,最低能量解

来源: 武汉理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 武汉理工大学

分类号: O175.25

DOI: 10.27381/d.cnki.gwlgu.2019.001841

总页数: 48

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