实二次环的商环的单位群

论文摘要

记Q为有理数域,K=Q(d1/2)为其二次扩域,d（≠0、1）为无平方因子的整数,同时记OK为K的代数整数环。如果d<0,Q(d1/2)称为虚二次域;相反,如果d>0,Q 称为实二次域。它们对应的代数整数环分别称为虚二次环和实二次环。Gauss 猜想当 d<0,只有 d=-1、-2、-3、-7、-11、-19、-43、-67、-163时其虚二次域才具有唯一1分解的性质。这一猜想于1967年被H.Stark证明。Gauss还猜想有无数多个实二次域K=Q(d1/2)具有唯一分解的性质,然而这一猜想至今仍未被证实。当Q(d1/2)具有唯一分解的性质时,Q(d1/2)的素元ξ已被完全确定。本文完整地研究具有唯一分解性质的二次域Q(d1/2)的整数环OK的商环OK/<ξn)的单位群,其中ξ为Q(d1/2)中的素元,n为大于0的任意整数。在文章中,令p和q分别表示满足勒让德符号（d/p）=-1和（d/p）=1的有理奇素数,ππ表示范数N（π）=±q的OK中的元素,η表示范数W（η）=±e（e>0）的OK中的元素,其中e是d的有理素因子。如果2|d,令δ表示范数等于±2的OK中元素。本文主要内容及结论如下:第一章介绍二次域及二次环的背景知识,以及扩域、代数整数元等基本概念和引理。第二章研究d≡1（mod 8）时的二次环OK的素元、商环OK/<ξn>的等价类以及单位群结构。确定了 OK的所有素元为ξ=p、π、η和δ,以及它们的相伴元。在此基础上,获得了商环OK/<ξn>的等价类,并完全决定了OK/<ξn 的单位群结构。第三章研究了d≡2（mod 8）和d≡6（mod 8）,即d ≡ 2（mod 4）时的情况。确定了 OK的所有素元为ξ=p、π、η,以及它们的相伴元。并指出当ξ=p、π、η且η的范数为d的有理奇素因子时,商环OK/<ξn>的单位群同构于d≡1（mod 8）时OK/<ξn>的单位群。本章主要确定了当η的范数等于±2时OK/<ηn>的单位群结构。第四章研究了d≡3（mod8）时的情况。确定了OK的所有素元为ξ=p、π、η和δ,以及它们的相伴元,其中δ的范数等于-2。并指出当ξ=p、π、时,商环OK/<ξn>的单位群同构于d≡1（mod 8）时OK/<ξn>的单位群。本章主要确定了当δ的范数等于-2时OK/<δn)的单位群结构。第五章研究了d≡5（mod8）时的情况。确定了OK的所有素元为ξ=p、π、η和2,以及它们的相伴元。并指出当ξ=p、π、η时,商环OK/<ξn>的单位群同构于d三1（mod 8）时OK/<ξn>的单位群。对于ξ=2的情形,通过确定OK/<ξn>的等价类,获得其单位群结构。第六章讨论了d≡7（mod8）时的情况。确定了O 的所有素元为ξ=p、π、η和δ,以及它们的相伴元,其中δ的范数等于2。并指出当ξ=p、π、η时,商环OK/<ξn>的单位群同构于d≡3（mod8）时OK/<ξn>的单位群。本章主要确定了当δ的范数等于2时OK/<δn>的单位群结构。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
• 第二章 d≡1 （mod 8）时的二次环的商环的单位群
• 第三章 d≡2 （mod 4）时的二次环的商环的单位群
• 第四章 d≡3 （mod 8）时的二次环的商环的单位群
• 第五章 d≡5 （mod 8）时的二次环的商环的单位群
• 第六章 d≡7 （mod 8）时的二次环的商环的单位群
• 参考文献
• 读硕期间发表的论文
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 梁林花

导师: 韦扬江

关键词: 二次环,商环,单位群,二次域

来源: 南宁师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 南宁师范大学

分类号: O153.3;O152

总页数: 54

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