论文摘要
本论文研究了不可压缩流动问题的三类不同方程的有限元稳定化方法。主要内容分为三个部分,第一部分针对不可压缩流动多区域耦合模型,考虑了与大气-海洋耦合系统具有相同数学结构的Stokes-Stokes耦合的简化形式,即具有动力学交界面条件的两个Stokes耦合问题,其交界面上施加了 Nitsche型边界条件。这类边界条件会造成理论分析中高阶积分项很难被有效控制,这是具有Nitsche型边界条件的Stokes-Stokes耦合模型的一个挑战性工作。为此,我们引入了全局Nitsche稳定项和压力松弛项,进而构造了新的离散格式,以保证模型有限元解的连续性和唯一性。由于考虑了界面上的质量守恒,该稳定项和松弛项在连续情况下不会对原始模型产生影响。我们引入弱全局强制性这一种简洁的思路证明了该稳定化方法的稳定性,同时还得到了其最优误差估计。具有光滑真解的算例和模型算例验证了我们的稳定化方法在Stokes-Stokes耦合问题模拟中的有效性,特别的,我们设计并构造了管道流模型,得到了 Stokes-Stokes耦合模型及其算法与物理实际现象非常吻合的效果。论文的第二部分考虑了非牛顿流体的流动,特别是稳态粘弹性流体流动问题,主要研究了具有Oldroyd-B型本构关系的线性化的Oseen型粘弹性流体流动方程。粘弹性流体流动问题的混合格式导致了三类数值不稳定性:一是应力场计算可能面临的模型方程不稳定性,二是对流占优造成的数值格式不稳定,三是混合有限元空间的选择需要满足LBB条件。本文主要采用了间断Galerkin（DG）方法和Streamline Upwind Petrov-Galerkin（SUPG）方法,重点研究了低阶有限元对选择下的稳定化方法。我们拟采用最低等阶有限元方法求解粘弹性流体流动问题。然而,粘弹性流体流动模型中存在三个未知量:速度、压力和应力张量,因此我们对DG格式选择最低等阶有限元三元组P1-P1-Pdc1,对SUPG格式选择最低等阶有限元三元组P1-P1-P1,进而对粘弹性流体流动模型进行数值逼近。众所周知,这些有限元对不满足LBB条件,因此,对应的数值格式不稳定。但是低阶有限元对具有构造简单,易于并行等良好的性质。为了克服低阶有限元对不满足LBB条件这一困难,我们在有限元格式中加入了对应的压力稳定项,构造了新的稳定化方法,该方法具有无惩罚参数、计算灵活、不需要高阶导数等优点。通过证明全局弱强制性,我们得到了该方法的稳定性,同时分析了其最优误差估计,相关的数值试验很好地验证了算法的稳定性和有效性。论文第三部分主要针对磁流体（MHD）方程组,研究了拟最小二乘稳定化混合有限元方法。该方法不需要混合有限元空间满足LBB条件。对于非线性问题,拟最小二乘有限元法比最小二乘法有更多的优势。首先,因为该稳定化方法中只引入了L2范数,易于编程实现。其次,通过线性化,我们可以得到一个简单的带有对称正定阵的迭代步骤,而且这些简单迭代步骤对于初值的选取具有较大收敛域。此外,该方法具有一致收敛性,不依赖于算法设计及粘性系数。我们研究了拟最小二乘有限元方法关于MHD方程组数值解的存在性,并且得到了先验误差估计,数值实验很好地验证了我们的理论分析。
论文目录
文章来源
类型: 博士论文
作者: Shahid Hussain
导师: 羊丹平,郑海标
关键词: 粘弹性流体,混合有限元法,最低等阶有限元,稳定化方法,拟最小二乘混合有限元法
来源: 华东师范大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学,力学
单位: 华东师范大学
分类号: O175;O35
DOI: 10.27149/d.cnki.ghdsu.2019.000110
总页数: 199
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标签：粘弹性流体论文; 混合有限元法论文; 最低等阶有限元论文; 稳定化方法论文; 拟最小二乘混合有限元法论文;