次扩散问题的非均匀时间网格方法与带状区域高阶人工边界条件设计

论文摘要

本文的研究有两个方面:首先,对当前次扩散方程非均匀时间网格方法的最新进展进行回顾与展望;其次,对二维无界带状区域上的次扩散方程设计了高阶人工边界条件。非均匀时间网格方法是求解Caputo次扩散问题的一种有效方法,因为它能简单有效处理初始奇异性和远离初始时刻的解剧烈变化的现象。与传统一阶导数相比,分数阶导数是一个卷积积分(非局部)形式,这给非均匀时间网格的数值分析带来了挑战。对于稳定性和收敛性分析,我们主要回顾这方面的一般框架,其包括三部分:(1)基于建立局部截断误差卷积结构;(2)构造一组互补的离散卷积核以及离散分数Gronwall不等式,和(3)一个全局(具有卷积结构的)相容性分析。该框架是基于一般的非均匀时间网格,不仅仅局限于本文讨论的模型,有望于拓广到变阶扩散方程、分布阶扩散方程及其它时间反常扩散问题。其次,我们针对二维无界带状区域上次扩散模型构建了高阶的人工边界条件,把无界域问题转化为求解有界计算区域上的初边值问题。证明了含有高阶人工边界条件的初边值问题是稳定的,同时设计基于快速算法的离散格式来提高计算效率,并证明了该格式的无条件稳定性和最优收敛性。最后数值算例验证了本文提出格式的有效性。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
• 第二章 L2范数下的次扩散问题
•   2.1 连续的分数Gronwall不等式
•   2.2 基于离散分数Gronwall不等式的稳定性
•     2.2.1 全离散格式
•     2.2.2 离散分数Gronwall不等式（DFGI）
•     2.2.3 猜想
•   2.3 全局收敛性分析
•     2.3.1 均匀网格和非均匀网格的全局误差逼近
•     2.3.2 均匀网格上的全局误差估计
•     2.3.3 非均匀网格（Graded网格）上的全局误差估计
•     2.3.4 数值格式（2-9）的收敛性
•   2.4 结论
• 第三章 Caputo导数近似格式
•   3.1 Caputo导数的一般离散卷积型近似格式
•   3.2 Alikhanov格式
•     3.2.1 离散Caputo算子
•     3.2.2 稳定性
•     3.2.3 收敛性
•     3.2.4 （3-8）的收敛性
• 1范数下的误差估计'>第四章 H¹范数下的误差估计
• 1范数下的次优误差估计'>  4.1 H¹范数下的次优误差估计
• 1-范数'>    4.1.1 H¹-范数
• 1误差估计'>    4.1.2 加权H¹误差估计
• 1-范数下的最优误差估计'>  4.2 H¹-范数下的最优误差估计
• 第五章 L1格式下快速算法
•   5.1 快速算法
•   5.2 两层线性格式
• 第六章 空间紧格式
•   6.1 全离散格式
•   6.2 稳定性分析
•   6.3 收敛性分析
• 第七章 二维无界带状区域上的反常扩散问题
•   7.1 高阶局部人工边界条件的推导
•   7.2 高阶局部吸收边界条件的稳定性
•   7.3 全离散格式
•   7.4 有限差分格式的收敛性分析
• 第八章 数值算例
•   8.1 一维变系数次扩散问题
•     8.1.1 L1格式与快速L1格式对比
•     8.1.2 Alikhanov格式与快速Alikhanov格式对比
•     8.1.3 L1-紧格式与快速L1-紧格式对比
•   8.2 二维无界域上的反常扩散问题
•     8.2.1 收敛阶及快速算法有效性
•     8.2.2 人工边界条件有效性
• 第九章 总结与展望
• 致谢
• 参考文献
• s）ⁿ的证明'>附录 A 空间方向上截断误差（R_s）ⁿ的证明
• 附录 B 攻读硕士学位期间发表的论文及其他成果

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 王淼

导师: 张继伟

关键词: 分数次扩散方程,非均匀时间近似,离散导数,离散不等式,全局相容性分析,人工边界方法

来源: 中国工程物理研究院

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 中国工程物理研究院

分类号: O241.82

总页数: 65

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