◆马宏力陕西省勉县同沟寺初级中学724200
摘要：勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理，是最基本的几何定理之一，一直以来是中考数学常见的考点。考察时常常以勾股圆方图以及其变化后的图形为背景，本文旨在对该问题做一个归纳探究。
关键词：勾股定理勾股圆方图归纳探究
一、图形原型应用试题展示
（图1）（图2）
1.如图1，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，要使中间阴影部分小正方形的面积为5，则大正方形的边长应该是（）。
A.25B.35C.5D.5
分析：此题对勾股圆方图稍加变化，可用面积割补进行解答，也可借助勾股圆方图的特征加以解决。选C。
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会，会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图2）。如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）。
A.13B.19C.25D.169
分析：由勾股定理得a2+b2=13，由面积关系得(a-b)2=1，建立a、b的方程组，整理后可得（a+b）2=25。顾选C。
二、图形拓展后的试题展示
3.如图3，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（）。
A.3∶4B.5∶8C.9∶16D.1∶2
分析：此题可用面积割补计算出两部分的面积再解答，也可借助“勾股图”的特征加以解决，还可以利用相似多边形的性质进行解答。选B。
（图3）（图4）（图5）
4.如图4，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于_____cm，四边形EFGH的面积等于_____cm。
分析：可用直角三角形的性质解决，可借助“勾股图”的特征加以解决，也可以利用相似多边形的性质进行解答。填入：82；8。
5.如图5，把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得四边形A1B1C1D1。请问：怎样剪才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下的面积为原来正方形面积的？请说明理由。
分析：此题与上题都是以“勾股图”为背景设计而来。假设四边形为满足要求的正方形，由对称性可得图中4个直角三角形全等，且每个面积为=AA1·AD1,即AA1·AD1=。再由已知AA1+AD1=1，从中求出AA1和AD1的长。此题是以勾股圆方图的拓展图形为背景的操作、探究、计算问题，常用方程思想解决问题。
结论：当AA1=BB1=CC1=DD1=1/3时满足题意。
三、进一步拓展后的试题分析
再次拓展主要有两类：1.将大正方形的四个角处剪掉的图形改变；
2.把大正方形改为正三角形。
6.现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图7，从距离正方形的四个顶点2cm处，沿450角画线，将正方形的纸片分成5份，则中间阴影部分的面积是_____；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？
（图7）（8）（9）
分析：此题在原正方形的四角处按一定的条件剪去一个四边形，与第5题类似。解答时可以延长内部小正方形的边长，构造出等腰直角三角形可以求出；也可以先求出AB=22，再利用图形的特征可得到CD=22，所以阴影部分的面积为8cm2。由此可以得到规律：阴影部分的面积始终为8cm2。
7.如图8，用四个相同的小矩形和一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x、y表示小矩形的两边长，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）。
A.x+y=7B.x-y=2C．4xy+4=49D．x2+y2=25
分析：利用四个小矩形全等，可以得出A正确；利用矩形的边长和小正方形的周长可判断B是正确的；利用大正方形的面积可以得出C正确；利用选项A、B可以得出4（x2+y2）=53，所以D是错误的。此题把勾股图的内涵在几个选项中得到了充分体现。
8.如图9，△ABC为正三角形，且∠1=∠2=∠3，试说明画有阴影的三角形为正三角形。
分析：易证得外边的三个三角形全等，通过线段的加减得出阴影三角形的三边相等，从而得出该三角形为正三角形。
结论：
教学中可以以勾股定理考察的形式为素材，启发学生思考数学学习的方法，应该着重培养学生的变通能力和创新能力，这样才能做到无论试题怎么改头换面，都能够找到问题考察的知识点，顺利解答。