论文摘要
非线性发展方程用于描述等离子物理、光纤通信、流体力学等领域中各种非线性现象,求解非线性发展方程在这些领域的研究中具有重要意义。20世纪50年代,研究学者们在对非线性现象的探索过程中提出了“孤子”的概念,并对“孤子”的特点展开了研究。随着对孤子研究的深入,人们探索出了多种对非线性方程求精确解的办法,其中Hirota双线性方法是最经典最直接的方法之一。在求解非线性方程的过程中会涉及大量符号计算,计算过程具有一定重复性和规律性。计算机代数的出现给研究工作带来方便,利用计算机不仅能够提高计算速度,使人们从大量而重复的计算中摆脱出来,还可以对计算后得到的结果进行校验,保证计算结果的正确性。符号计算对孤子从理论研究到实际应用起到了重要的推动作用。本文的研究工作分为以下五个部分:第一章介绍了孤子的历史与发展以及孤子的研究状况,并且对符号计算以及计算机软件在求解非线性方程中的应用做了简单介绍。第二章介绍了我们在研究孤子问题的过程中涉及到的几种求解方法,包括Hirota双线性方法、Backlund变换法以及多指数函数法。以经典的KdV方程为例,介绍了应用几种相关变量变换将非线性方程转化为双线性方程的过程和构建Backlund变换的过程。第三章介绍了双线性方程指数行波解的线性叠加原则,给出了线性叠加原则存在的充要条件,受这个条件的启发,利用一个多变元多项式提出了一个新的Hirota双线性方程。将线性叠加原则应用到这个新的Hirota双线性方程,最后得到了方程的两类共振多波解,并给出了共振三波解的三维图。第四章分别对两个（3+1）-维非线性发展方程做了解析研究。针对第一个方程做了这样的工作:（1）利用多指数函数法计算求得方程的非共振多波解;（2）构建了方程的双线性Backlund变换,并利用得到的Backlund变换计算求得了指数函数解和一阶多项式解;（3）分别考虑y=x和y=z对应的降维约化情形,研究了两种约化情形下方程的lump解;（4）研究了 lump波和条状波之间的相互作用,从数学表达式的角度结合图像分析了解的特性。针对第二个方程做了这样的工作:（1）构建了方程的双线性Backlund变换,计算求得了指数函数解和一阶多项式解;（2）分别考虑z=x和2=y对应的降维约化情形,研究了两种约化情形下方程的lump解;（3）研究了 lump波和条状波之间的相互作用,从数学表达式的角度结合图像分析了解的特性。第五章是对全文的工作总结,提出了在研究孤子过程中遇到的一些困难,并针对这些困难对未来的工作做了展望。
论文目录
文章来源
类型: 硕士论文
作者: 高丽娜
导师: 吕兴
关键词: 非线性发展方程,双线性方法,多波解,变换
来源: 北京交通大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学
单位: 北京交通大学
基金: 国家自然基金
分类号: O175.29
DOI: 10.26944/d.cnki.gbfju.2019.001225
总页数: 75
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