关于Virasoro代数与一类Block代数结构与表示的若干问题

论文摘要

无限维李代数是现代李理论的中心研究课题之一.本文主要研究了关于Virasoro代数与一类Block李代数B（q）的结构与表示的若干问题.Virasoro代数是最重要的无限维李代数之一,其表示理论在Kac-Moody代数,顶点算子代数,量子物理,共形场论等领域都有重要的应用.最近几年,关于Virasoro代数的非权模出现了很多重要的结果,很多作者利用不同的方法和技巧构造出多种类型的非权单模,其中结构最为简单的是一类?模.另一类重要的单模是正部作用局部有限单模,这种模是最高权模和Whittaker模的共同推广.本文的第一个主要内容就是,研究了Virasoro代数上若干个?模与（广义）正部作用局部有限单模的张量积问题.我们确定了这些张量积模的结构与不可约性,给出了不同张量积模之间的同构关系,并证明了这些单模是新的,即,不同构于在此之前已知的其他单模.微分（结合）代数是一个包含微分Galois理论和微分代数几何在内的广泛的研究领域,同时差分代数也有一套平行的理论.为了同时研究微分代数和差分代数,郭锂和W.Keigher引入了λ-微分代数的概念.本文把这个概念拓展到了李代数领域,得到了λ-微分李代数及λ-微分模的概念.作为一个重要例子,我们完全确定了λ非零时,Virasoro代数的λ-微分李代数结构.然后,我们对一些重要的Virasoro模,如Verma模,中间序列模,?模等,确定了它们的λ-微分模结构.Block代数B（q）是另一类重要的无限维李代数,其中q是任意复数.当2q不是整数时,B（q）是一个单代数,而且是除了秩为1的Witt代数（无中心的Virasoro代数）外,结构最为简单的无限维李代数.双导子是导子的推广,是确定交换映射的重要工具.本文建立了一个确定李代数双导子的新方法,利用这个方法,我们完全确定了Block代数B（q）的双导子,并进一步确定了B（q）的交换映射.U（（?））-自由模是李代数研究领域最近出现的一类新模,其中U（（?））是对应李代数的Cartan子代数的泛包络代数.国内外很多学者相继深入研究了许多李代数的U（（?））-自由模,如有限维单代数,Virasoro代数,Witt代数等.本文构造并研究了Block代数B（q）的U（（?））-自由模,给出了秩为1的U（（?））-自由模的完全刻画,给出了它们的不可约性和子模结构,以及互相之间的同构关系.

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 背景及主要结果介绍
•   1.1 Virasoro代数
•     1.1.1 Virasoro代数的表示理论
•     1.1.2 Virasoro代数的λ-微分代数结构与λ-微分模
•   1.2 Block代数
•     1.2.1 Block代数的双导子
•     1.2.2 Block代数的U（（?））自由模
•   1.3 本文结构安排
• 第二章 Virasoro代数的结构与表示的几个问题
•   2.1 Virasoro代数的张量积表示
•     2.1.1 张量积模的不可约性
•     2.1.2 张量积模的同构
•     2.1.3 不可约张量积模是一类新的单模
•   2.2 Virasoro代数的λ-微分算子和λ-微分模
•     2.2.1 Virasoro代数的λ-微分算子
•     2.2.2 Virasoro代数的λ-微分模
• 0,0)的微分模'>      2.2.2.1 (Vir,d_0,0)的微分模
• n,a)的微分模'>      2.2.2.2 (Vir,d_n,a)的微分模
•       2.2.2.3 Verma模上的微分结构
•       2.2.2.4 中间序列模的微分结构
•       2.2.2.5 非权模上的微分结构Ⅰ
•       2.2.2.6 非权模上的微分结构Ⅱ
• 第三章 Block代数B（q）的双导子与U（（?））-自由模
•   3.1 Block代数B（q）的双导子
•     3.1.1 B（q）的导子
•     3.1.2 B（q）的双导子
•     3.1.3 B（q）的交换映射
•   3.2 Block代数B（q）的U（（?））-自由模
•     3.2.1 U（（?））-自由模的构造
•     3.2.2 U（（?））-自由模的同构与不可约性
•     3.2.3 U（（?））-自由模的刻画
• 参考文献
• 在学期间的研究成果
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 刘学文

导师: 郭锂

关键词: 代数,张量积,微分算子,微分李代数,微分模,双导子,自由模

来源: 兰州大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 兰州大学

分类号: O152.5

总页数: 94

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