一类随机抛物Anderson模型解的精确矩渐近

论文摘要

随机偏微分方程是指带有随机项或随机系数的偏微分方程,是模拟现实问题的重要工具.随机偏微分方程在物理,化学,金融数学,生命科学,控制问题等很多领域都有广泛的应用.目前,随机偏微分方程已经成为概率论中重要的分支领域之一.抛物Anderson模型作为一类非常重要的抛物型随机偏微分方程备受关注并得到了很好的研究和发展.近年来,关于抛物Anderson方程解的性质的研究取得了一系列的成果,其中以方程解的间歇性问题最为受到关注.事实上,从数学角度上看,研究抛物Anderson方程解的间歇性问题,实际上就是研究方程解的矩渐近性问题.在本文中,我们考虑如下随机抛物Anderson方程其中噪声（?）w/（?）t（t,x）为0均值Gauss场{W（t,x）’（tx）∈R+×Rd} 关于时间t的形式导数,且Gauss场W（t,x）具有如下协方差函数Cov(W（t,x）,W（s,y）=-2（t2H00+s2H0-|t0-s|2H0）Γ（x,y）,（t,x）,（s,y）∈ R+× Rd,其中H0 ∈（0,1）为时间Hurst参数,Γ（x,y）为空间变量协方差函数.在第三章中,对于方程中的广义Gauss噪声（?）/（?）tW（t,x）,我们假设其空间变量的协方差函数Γ（x,y）具有如下齐次性对于任意的x,y ∈ Rd和C ∈ R满足其中0<H<1为常数.我们通过利用Varadhan积分引理,Brown运动轨道大偏差原理以及概率论中的一些不等式关系,证明了如下结论成立:定理1假设0<H0,H<1,1-2H0<H<1,Γ（t,x）局部有界并且满足条件（2）,则对于每个x∈Rd都有其中ε（H0）分别表示成如下形式:当1/2<H0<1时,当 0<H0<1/2时,其中CH0=H0（2H0-1）,Hd 为 Cameron-Martin 空间.事实上,以上三种变差表达式可以统一表示成如下形式:值得注意的是,第三章中的主要定理还覆盖了如下两种特殊情况:注1当方程（1）中Gauss场W（t,x）为带有Hurst参数（H0,H1,…,Hd）的分数Brown单时,即空间变量协方差函数为其中RHj（xj,yj）1/2{|xj|2Hj+|yj|2Hj-|xj-yj|2Hj},j=1,…,d.此时空间协方差函数满足定理1中的齐次性假设条件（2）,其中参数H=H1+…+Hd.注2当W（t,x）为带有Hurst参数（H0,H）的空间径向分数Brown单时,空间协方差函数也满足定理1中的空间齐次性的条件,此时空间协方差函数表示为Γ（x,y）=1/2{|x|2H+|y|2H-|x-y|2H},x,y∈Rd.另外,当随机抛物Anderson模型（1）中广义Gauss噪声-tW（t,x）为时间白,空间为1-维分数Brown运动时,定理1中的ε（H0）可以求得具体的值.推论1当H0=1/2且噪声的空间变量为Hurst参数为H的1维分数Brown运动时第四章中,我们在第三章的基础上,假设方程（1）中广义Gauss噪声（?）/（?）tW（t,x）的空间变量协方差函数r（x,y）满足如下渐近齐次性假设其中Γh（x,x）为满足第三章中齐次性假设的空间变量协方差函数.我们利用截断方法,进一步给出了方程解在t→∞或m→∞时的精确矩渐近性.以下为第四章的主要结果.定理2假设0<H0<1和1-2H0<H<1,方程（1）中广义Gauss噪声（?）/（?）tW（t,x）空间变量的协方差函数r（x,y）满足渐近齐次性假设（9）,并且对于所有x∈ Rd都存在某些常数C0>0,使得Γ（x,x）<C0|x|2H,则有其中ε（H0）分别被表示成如下形式:当 1/2<H<1时,当H0=1/2时,当0<H0<1/2时,其中Γh（x,x）为满足第三章中齐次性假设的广义Gauss噪声的空间变量协方差函数,CH0=H0（2H0-1）,Hd为 Cameron-Martin 空间.

论文目录

• 中文摘要
• ABSTRACT
• 文中部分缩写及符号说明
• 第一章 绪论
•   1.1 背景介绍
•   1.2 研究现状
•   1.3 本文结构
• 第二章 预备知识
•   2.1 基本定义和定理
•   2.2 分数Brown运动
• 第三章 齐次Gauss噪声驱动的抛物Anderson方程解的精确矩渐近
•   3.1 引言
•   3.2 主要结论
• m（t,0）的渐近性'>  3.3 Eu^m（t,0）的渐近性
• m（t,x）的渐近性'>  3.4 Eu^m（t,x）的渐近性
• 第四章 由渐近齐次Gauss噪声驱动的抛物Anderson方程解的精确矩渐近
•   4.1 主要结论
•   4.2 主要定理的证明
• 第五章 结论与展望
• 参考文献
• 作者简介及在学期间所取得的科研成果
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 李贺宇

导师: 陈夏

关键词: 抛物模型,公式,运动,大偏差原理,噪声

来源: 吉林大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 吉林大学

分类号: O175.26

总页数: 77

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