可积系统初边值问题的Fokas方法

论文摘要

本文研究对象是非线性可积发展方程,研究主要内容是可积发展方程在半直线区域Ω={（x,t）|0<x<∞,0<t<T}上初边值问题.利用Fokas统一变换方法,将可积发展方程在半直线上初边值问题转化为求解对应的矩阵Riemann-Hilbert问题.在第一章中,主要介绍了与Riemann-Hilbert问题有关的四种研究方法:反散射变换方法、Fokas统一变换方法、穿衣（dressing）变换方法和Deift-Zhou引入的非线性速降法（Nonlinear steepest-descent method）在国内外的发展和应用现状,以及本文主要研究内容和章节安排.在第二章中,讨论了2 × 2阶矩阵谱问题相关的Kundu-Eckhaus（KE）方程在半直线上具有衰减性质初边值问题,利用Fokas统一变换方法,通过引入特征函数谱分析,结合谱问题特征函数的组合来构造相关的Riemann-Hilbert问题,然后给出了其初边值问题解表示,并证明了其解唯一性.在第三章中,基于Fokas统一变换方法,研究了3×3阶矩阵谱问题相关两类稱合非线性Schrodinger方程在半直线上具有衰减性质初边值问题,由其Lax对特征函数和谱函数解析性质,将两类耦合非线性Schrodinger方程初边值问题归结为3 × 3矩阵Riemann-Hilbert问题,然后给出了其初边值问题解的Riemann-Hilbert问题解的形式表示,并证明了相应矩阵Riemann-Hilbert问题解的唯一性.有趣的是,与其它3×3阶可积方程不同的是,这两类可积方程跳跃曲线有两条对称双曲线,而其它方程跳跃曲线均为直线.与第三章类似,在第四章中,分析了4×4阶矩阵谱问题相关的二分量mKdV方程和相干耦合非线性Schrodinger方程在半直线上初边值问题,证明了二分量mKdV方程和相干耦合非线性Schrodinger方程初边值解可用4 × 4阶矩阵Riemann-Hilbert问题解表示,需要注意的是,在分析这两类4×4阶矩阵Lax对可积发展方程初边值问题时,可以将其4×4阶Lax对矩阵分解成2×2阶Lax对分块矩阵形式,事实上,也可以类似于第二部分对这两类方程进行分析,能够得到与本文相同结果.因此,这两类方程是Fokas统一变换方法求解可积发展方程初边值问题更一般形式推广.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACTV
• 第一章 绪论
•   1.1 研究背景
•   1.2 本文的主要研究内容
• 第二章 与2×2阶矩阵谱问题相关的初边值问题
•   2.1 谱分析
•     2.1.1 Kundu-Eckhaus方程的Lax对变换
•     2.1.2 特征函数
•     2.1.3 基本的Riemann-Hilbert问题
•     2.1.4 反问题
•   2.2 谱函数和Riemann-Hilbert问题
•     2.2.1 谱函数
•     2.2.2 标准的Riemann-Hilbert问题
• 第三章 与3×3阶矩阵谱问题相关初边值问题
•   3.1 耦合高阶非线性Schrodinger方程
•     3.1.1 谱分析
•       3.1.1.1 1-形式
•       3.1.1.2 特征函数
•       3.1.1.3 跳跃矩阵
•       3.1.1.4 共轭特征函数
•       3.1.1.5 跳跃矩阵计算
•       3.1.1.6 留数条件
•     3.1.2 全局关系
•     3.1.3 解的重构
•   3.2 耦合修正非线性Schrodinger方程
•     3.2.1 谱分析
•       3.2.1.1 1-形式
• j'>      3.2.1.2 基本的特征函数Ψ_j
•       3.2.1.3 余子式和谱函数
• n和跳跃矩阵'>      3.2.1.4 矩阵值函数P_n和跳跃矩阵
•       3.2.1.5 留数条件
•     3.2.2 解的重构
• 第四章 与4×4阶矩阵谱问题相关的初边值问题
•   4.1 二分量修正Korteweg-de Vries方程
•     4.1.1 谱分析
•       4.1.1.1 1-形式
• j'>      4.1.1.2 基本特征函数μ_j
•       4.1.1.3 特征函数对称性
•       4.1.1.4 伴随特征函数
•       4.1.1.5 谱函数和全局关系
• n和跳跃矩阵计算'>      4.1.1.6 矩阵值函数M_n和跳跃矩阵计算
•       4.1.1.7 留数条件
•     4.1.2 Riemann-Hilbert问题
•   4.2 相干耦合非线性Schr（?）dinger方程
•     4.2.1 系统（4.2.3）和（4.2.4）的Lax对
•     4.2.2 谱分析
•       4.2.2.1 1-形式
• j'>      4.2.2.2 特征函数μ_j
• n'>      4.2.2.3 矩阵值函数M_n
•       4.2.2.4 跳跃矩阵和共轭特征函数
•       4.2.2.5 谱函数和跳跃矩阵计算
•       4.2.2.6 留数条件
•     4.2.3 全局关系
•     4.2.4 Riemann-Hilbert问题
• 第五章 总结与展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间完成的工作
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 胡贝贝

导师: 夏铁成

关键词: 可积系统,初边值问题,问题,统一变换方法,跳跃矩阵

来源: 上海大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 上海大学

分类号: O175.8

DOI: 10.27300/d.cnki.gshau.2019.000097

总页数: 110

文件大小: 3853K

下载量: 54