Vlasov-Poisson-Boltzmann方程的Acoustic-Poisson弱极限

论文摘要

本论文主要研究关于Vlasov-Poisson-Boltzmann方程的Acoustic-Poisson极限的数学理论,Boltzmann方程已经熟为人知,它是Kinetic理论中最基础最经典的一个模型,具有丰富的物理背景和实际应用,因此对Boltzmann方程的数学理论研究一直是偏微分方程中最重要的和最具有挑战性的领域之一,Bardos、Glose、Levermore从Boltzmann方程的DiPerna-Lions重整化解中推导出Acoustic极限,Acoustic极限不仅具有丰富的理论内涵,它还具有深刻的物理背景,本文主要从Vlasov-Poisson-Boltzmann方程的重整化解入手,给出了重整化解所满足的守恒律,定义了扰动并给出了相关性质,最后从VPB方程中推导出了Acoustic-Poisson极限以及弱极限定理,主要分为五节。在第一节中,介绍了普通形式的Boltzmann方程以及方程中的符号含义和研究背景,进一步给出了经典的Boltzmann方程和当N=3,V0=1/（4π|x|）时,一种特殊情况下的Boltzmann方程,我们称为Vlasov-Poisson-Boltzmann方程,由此给出本论文主要研究方程的定义和各量的物理意义及背景;除此之外,我们还给出了Acoustic-Poisson系统的方程组。在第二节中我们首先给出了无量纲形式的定义,并考虑VPB方程中各量的无量纲化形式,并将质量密度函数F做了变换,即F=MG。接下来推导出了VPB方程的形式守恒律,即质量守恒、动量守恒、动能守恒,通过定义相对熵函数H（G）和熵耗散率函数R（G）给出了熵不等式。在第三节中,我们通过对G和Φ作相应的变换,得到g的极限方程形式,并形式分析得到其满足Acoustic-Poisson系统方程组。第四节中,我们通过DiPerna-Lions定义的重整化解出发,进一步整理推导给出了DiPerna-Lions重整化解所应满足的性质,即局部质量守恒、全局动量守恒、全局动能守恒、熵不等式。并进一步给出了在第三节中所提到的变换g（定义为扰动）的定义和性质,性质主要包括其在各空间中的紧性和一些非线性估计,这些紧性性质和不等式估计将在第五节的证明中起到关键作用。第五节中,我们给出了本论文的主要结果,即Vlasov-Poisson-Boltzmann方程的Acoustic-Poisson弱极限定理及其证明,首先通过DiPerna-Lions重整化的定义给出重整化之后的VPB方程,再利用第四节中的紧性和非线性估计,证明到方程各项均可以取极限,从而得到局部守恒定律的弱形式,进一步证明得到本论文的主要结果。Vlasov-Poisson-Boltzmann方程的Acoustic-Poisson极限的研究具有重大的理论意义和实际意义,直到目前为止还有很多开放性的问题值得我们去研究和探索,我们将在总结部分提出一些问题,我们期待有关这些方面的问题在理论研究上能够不断地被完善和突破。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 绪论
•   1.1 问题描述
•   1.2 研究现状
•   1.3 主要结果及证明思路
•   1.4 本文的结构安排
• 2 形式守恒律和熵不等式
•   2.1 无量纲形式
•   2.2 形式守恒律
•   2.3 熵不等式
• 3 形式分析和推导形式
•   3.1 基本性质
•   3.2 Acoustic-Poisson极限的推导
• 4 重整化解和扰动
•   4.1 Diperna-Lions重整化解
•   4.2 扰动
• 5 弱极限定理
• 6 总结与展望
• 参考文献
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 王艺璇

导师: 江宁

关键词: 玻尔兹曼方程,声波极限,重整化解,方程,极限

来源: 武汉大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 武汉大学

分类号: O175.2

总页数: 41

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