华南师范大学广东广州510631
摘要：在解数学题时，依据从条件入手或从结论入手，将之划分为综合法和分析法。本文将对综合法和分析法在解数学题时的具体应用进行分析，解读它们各自的优缺点、区别以及联系。
关键词：综合法分析法优缺点
综合法：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，它是由因导果，又称为顺推证法。
分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，它是执果索因，又称为倒推证法。
一、综合法
例1：在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC是等边三角形。
思路分析：从条件中三个内角A，B，C成等差数列，可知B满足B=，即2B=A+C，又三角形的内角和为180°可知，3B=180°，可以解得B=60°，从另一个条件入手，△ABC的三条边a，b，c成等比数列，可知b满足b2=ac，此时，涉及到B，b2，ac，自然地想到跟余弦定理有关：b2=a2+c2-2accosB，即ac=a2+c2-ac，变形得（a+c）2=0,解得a=c，前面已知b2=ac，b>0，解得a=b=c，所以△ABC是等边三角形。
二、分析法
例2:设a>b>0，求证：<-ab<。
思路分析：这道题中条件只有a>b>c，从这个条件出发，我们很难再往下证明,因此我们考虑运用分析法，先从<-ab<入手，第一、三项是分数的形式，但是中间一项-ab却不是分数的形式，所以我们将中间那一项通分，转化为，
我们观察到第一、三项的分子都是（a-b）2，且（a-b）2跟(a-b)2有联系，（a-b）2=[(a+b)(a-b)]2，
要证原不等式,即证：<
<，
化简得：<1<，
即证：<1<，
即证：<=1=<，
此时，根据条件，设a>b>0，可以知道a>b>0，
<=1=<成立，
再逆推证明原不等式成立即可。
三、综合与分析法
有的时候，对于比较复杂的数学题，无论是“由因导果”，还是“执果索因”，都是一个很长的过程，在解题过程中，单靠综合法或者分析法，都会变得比较困难。因此，在实际解题时，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标，从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径。
例3：若a，b，c是不全相等的正数，求证：
1g+1g+1g>1ga+1gb+1gc。
思路分析：先从结论1g+1g+1g>1ga+1gb+1gc入手，发现不等式左右两边都是对数相加，联系对数的加法运算，loga(MN)=logaM+logaN，自然可以将该不等式做一个等价的变形，要证原不等式，
即证1g(··)>1g（abc），
再由于lg是底数大于1的，是一个在（0,+∞）上单调递增的函数，因此，现在可以转为证明··>abc，观察上面的不等式，发现左边跟基本不等式≥ab（a≥0,b≥0）的左边部分是相同的，右边是非常相似的。回到题目中所给的条件，a，b，c是不全相等的正数，跟基本不等式中要求数是非负数的条件相符，用基本不等式进行尝试，有≥ab>0，≥bc>0，≥ca>0，当且仅当a=b=c时，等号成立。因为a,b,c不全相等，所以至少有一个等号不成立。
上面三个不等式相乘··>ab·bc·ca
=abc，到此，原不等式成立。
分析法执果索因，从结论入手一步步逆推分析，直到使结论成立的条件和已知条件，或者是某一定理、公理等等吻合为止。就我们的写数学题的证明过程来说，综合法形式简洁，条理清晰，而分析法叙述是比较繁琐的，这也就说明了一件事，在解一道数学题时，思考的时候用分析法，将整道题的脉络梳理清楚之后，用综合法来表述解题过程。因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用。
参考文献
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