陕西省延长县呼家川小学张晓明
《数学课程标准》提出：“数学教育要全面向全体学生，人人学到所需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”《抽屉原理》是人教版六年级下册数学广角中的内容，通过学习，使学生初步学会从数学的角度提出问题、理解问题并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识，形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。如何使这些数学素养在教学中得以渗透、促进学生发展呢？由此，我在教学时做了大胆设计，从四方面引导学生的开展有效的学习活动，使学生的数学素养在学习《抽屉原理》中得到培养与发展。
一、引发学生质疑，发展学生深刻理解题意的能力
理解题意是一种要求，也是一种能力。它是研究问题的前提和基础，只有学生深刻理解题意，才能为学生自主探究解决问题扫清障碍。首先我引导学生对“‘把4枝铅笔放进3个文具盒中。不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。’这句话是否正确”进行判断。学生提出“对‘总有一个文具盒里至少放了2枝铅笔’这句话有疑惑”，为了能充分发挥学生理解问题的自主性，我顺水推舟：“有谁能帮他理解这句话？”一石激起千层浪，学生纷纷举手说出自己的想法。生1：就是每个文具盒里至少有1枝铅笔，其中一个文具盒中有2枝铅笔；生2：就是不管怎么放，三个文具盒中肯定有一个文具盒中至少有2枝铅笔。我进一步引导，重点强调：“是三个文具盒中都至少要有两枝铅笔呢，还是只要一个文具盒至少有2枝铅笔就可以了？”学生产生共鸣：“是一个文具盒。”我又紧紧抓住学生思维的交锋点继续激发内驱力问“怎样用数学语言描述‘至少有2枝铅笔’的意思呢？”机灵的学生，盯住了关键词“至少”，正确使用简洁的符号和数字“≥2枝”表达出“至少2枝”的深刻含义。上述引导学生质疑的过程，使学生不但完全明白了“3个文具盒中，只要有一个文具盒的铅笔数≥2枝，这个结论便成立”的题意，而且获得了抓关键词和抓数学表象信息层层深入理解题意，即理解问题的能力。
二、引导学生验证，发展学生解决问题策略多样化的能力
“鼓励学生解决问题策略多样化的能力”是数学教学的一个目标。对于“把4枝铅笔放进3个文具盒中。不管怎么放，总有一个文具盒里至少放有2枝铅笔。”这样一个事实性的命题，如何让不同层次的学生选择适合自己的理解方法多角度地去验证呢？我引导学生用枚举、数字符号描述、假设三种方法进行探究。
1．枚举法。
有的学生用书代表文具盒进行操作验证。如生1说：“我把4枝笔放在当做文具盒的三本书上，每个文具盒都放一枝，有一个文具盒放了2枝，也就是总有一个“≥2枝”，即1枝、1枝、2枝。”生2接着说：“我在一个文具盒中不放，则一个放一枝，一个放三枝，也是总有一个里面“≥2枝”，即1枝、3枝、0枝。我追问：“还有吗？”生3、生4分别说出了另外两种“总有一个里面≥2枝”的情况：2枝、2枝、0枝和4枝、0枝、0枝。
2．数字符号描述法。
有的学生画方框表示文具盒,进一步理解“至少2枝”的含义，学生在枚举法的基础上很快画出了四种情况：
（1）004
（2）112
（3）013
（4）022
验证得出：“把4枝铅笔放进3个文具盒中。不管怎么放，总有一个文具盒里至少放了2枝铅笔。”这个结论是正确的。
3．假设法。
（1）加法算式假设法。有学生这样假设：“我假设‘总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔’这个结论不成立，就是不≥2枝，也就是每个文具盒中各放一枝，3个文具盒就只放了3枝铅笔，还剩下1枝，与原先的结论‘有4枝铅笔’相矛盾，用算式可以表示为4-3=1，1+1=2”，说明假设错误，原先的结论是正确的。（2）除法算式假设法。我追问：“还能用不同算法表示吗？”生2告诉大家：“假设‘总有一个文具盒里至少放了2枝铅笔’不成立，就要使每个文具盒的铅笔尽量少，只有平均分才是最少的，每个文具盒中先平均放1枝，我就用4&pide;3=1……1，1+1=2，也说明假设错误，原先的结论是正确的。”我因势利导，出示一道数据较大的命题：把1000枝铅笔放进999个文具盒中，总有一个文具盒中至少有2枝铅笔，让学生选择方法验证。生3自告奋勇说：“我选择用除法算式假设法验证比较简单，就是1000&pide;999=1……1，1+1=2，证明这个结论是正确的。生3话音一落，全班响起了一片掌声！
上述引导学生验证的过程，是形成解决问题基本策略，体验解决问题策略多样化的过程，是使学生实践能力和创新精神交织发展的过程。三种方法，各有特点，全班不同层次的学生都能选择适当的方法验证结论的正确性。
三、引导学生讨论，发展学生择优的能力
“通过观察、操作、归纳、类比、推断等数学活动，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性。”对于探究“把4枝铅笔放有3个文具盒中不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。”是否正确，我引导学生用了枚举法、数字符号描述法、假设法层层深入进行讨论。通过观察、操作、归纳、类比、推断等数学活动总结得知：前两种属列举法，都是把各种可能出现的情况一一列举出来。但层次不一样，枚举法具体、可操作性强，但数学内涵揭示不明显，学生不容易发现数学问题。数字符号描述法较枚举法高级，能简洁、清晰地把数学过程展现在眼前。枚举法和数字符号描述法有共同的缺陷，就是当数据较大时，列举过程耗时低效，正确率低。假设法就能避免此不足。假设法是比较抽象的逻辑推理过程，只需借助符号、算式把抽象的原理具体化，便能把抽象的知识化为通俗易懂，掌握起来快捷有效。三种方法既具探索性，又具挑战性，学生多法而作，优势互补，相得益彰，个个都能感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性。既彰显了学生个性化学习，又发展了学生择优提升学习技巧的能力；既能让学生深刻理解假设法的内涵，又能使学生体验到从不同角度采用多种方法探究数学问题的乐趣。
四、引导学生抽象概括，发展学生的建模应用能力
《数学课程标准》倡导“综合运用所学的知识和技能解决问题，发展学生的应用意识和实践能力”。从解决“抽屉原理”一般方法中抽象概括，总结出通用原理，加以推广运用，是本课的主要目标之一。在本节课中，我引导学生进行了三次抽象概括。第一次抽象：引导学生用字母代替数。我问大家：“怎样用字母代替数呢？”生1忽闪着明亮的眼睛说：“我用a和n代替，把a枝铅笔放进n个文具盒中，保证a﹥n，a和n是正整数，就能得出总有一个文具盒里至少放有2枝铅笔”这个结论。为了进一步内化“抽屉原理”的本质属性，我引导学生进行第二次抽象：揭示命题。我出示“7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里”，问学生打算用什么方法验证？学生都选择了用除法算式假设法验证，说：“7&pide;5=1……2，1+1=2，就是至少2只。”
引导学生概括：我们把这一个一个的方框看做一个一个的抽屉。刚才4枝铅笔和7只鸽子都是被分的物体，3个文具盒和5个鸽舍都把它看做抽屉，因此可以总结为“把a个物体放进n个抽屉中（a﹥n，a和n是正整数），总有一个抽屉里至少放进2个物体。”我们把这个原理称作“抽屉原理”。第三次抽象：揭示规律。我继续引导：如果研究把5本、7本、9本书放有2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放有（3、4、5）本书？学生个个跃跃欲试，分别表示为：5&pide;2=……1，2+1=3；7&pide;2=3……1，3+1=4；9&pide;2=4……1，4+1=5。在学生的讨论、归纳中得出规律：“把a个物体放进n个抽屉中，若a&pide;n=k……b（a、n、k、b为正整数，则总有一个抽屉里至少放进（k+1）个物体，因为物体和抽屉总是一个一个的）。这时，学生的思维被完全激发，学习热情被充分调动总结出完整的“抽屉原理”数学模型，并被灵活应用。