论文摘要
环的平凡扩张的概念已经被广泛应用于环理论以及其他领域的研究,如上同调理论、表示理论、范畴理论和同调代数.理想在环论中处于重要的地位,也是研究环论的一个重要工具.目前对于环的理想已经研究的非常充分.近年来,已有人利用环的理想的性质研究了平凡环扩张上的理想的性质.本文研究了Hochschild扩张和n-平凡扩张,它们是比平凡扩张更广泛的环扩张.特殊地,当Hochschild 2-循环α = 0时,Hochschild扩张就是平凡扩张;当n-平凡扩张中n = 1时,1-平凡扩张就是平凡扩张.本文研究了Hochschild扩张上的广义2-吸收理想的性质,包括2-吸收理想、弱2-吸收理想、2-吸收准素理想、弱2-吸收准素理想、半2-吸收理想、n-吸收理想以及（m,n）-闭理想等,并给出一些特殊的环,如局部环、整环、Prufer整环、交换可除环、约化交换环等,它们的Hochschild扩张上的理想的结构和性质.除此之外,本文研究了n-平凡扩张上的2-吸收理想、半2-吸收理想、m-吸收理想和（m,s）-闭理想等广义2-吸收理想,将平凡扩张上的相应广义2-吸收理想的性质推广到n-平凡扩张上.具体内容如下:第一章综述了论文的选题背景,以及有关文献的最新进展.引入了关于广义2-吸收理想的一些相关的定义和一些相关的结论,并且回顾了平凡扩张的概念、平凡扩张上的理想的一些性质、Hochschild扩张的概念等准备知识.在本文中,我们假定R是含有非零单位元的交换环,并在预备知识中,对Hochschild 2-循环α的性质进行了研究,得出α（1,r2r3）= α（],r2）r3,r1α（l,r3）=α（r1,1）r3,α（=r1r2,1）=r1α（= 1）,（?）r1,r2,r3∈R.并在此基础上给出本文的假设条件α（a,b）=aα（1,b）,对（?）a,b∈R.为了后续的证明,我们首先证明了一个重要引理:已知R是含有非零单位元的交换环,I是R的真理想,且I是R的P-准素理想,这里（?）I = P是R的素理想.令M是R-R-双模,N是M的子模,且IM（?）N,如果Hochschild 2-循环满足α(o,b=aα（1,b）,对（?）a,b ∈R都成立,那么（1）（?）Hα（I,N）=Hα（（?）I,M）,（2）Hα（I,N）是Hα（R,M）的Hα（（?）I,M）-准素理想.并且研究了交换环的Hochschild扩张的性质,如Jacobson基、幂零元、理想的高度、维数、零因子等.第二章,本文研究了Hochschild扩张上的广义2-吸收理想的性质,包括2-吸收理想、弱2-吸收理想、2-吸收准素理想、弱2-吸收准素理想、半2-吸收理想、n-吸收理想、（m,n）-闭理想的性质,将平凡扩张上的有关广义2-吸收理想的性质进行了推广:假定R是含有单位元1R ≠ 0的交换环,M是R-R-双模,I是R的真理想,对于任意Hochschild 2-循环α,Hα（R,M）是R和M的Hochschild扩张,那么,Hα（I,M）是Hα（R,M）的2-吸收理想（半2-吸收理想、n-吸收理想、（m,n）-闭理想）当且仅当I是R的2-吸收理想（半2-吸收理想、n-吸收理想、（m,n）-闭理想）,这里I是R的真理想.并且研究了在Hochschild 2-循环α满足α（a,b）= aα（q,b）,（?）a,b ∈R的条件下,Hα（R,M）上的弱2-吸收理想、2-吸收准素理想、弱2-吸收准素理想的性质,以及Hα（I,N）的性质,这里N是M的子模..并给出了当R是特殊的环,如局部环、整环、Prufer整环、交换可除环、约化环等时所得出的一些结论.第三章,本文研究了n-平凡扩张上的2-吸收理想、半2-吸收理想、n-吸收理想以及（m,s）-闭理想的性质,对于平凡扩张上的理想的性质进行了更进一步的推广,得到以下主要结果:假定R:=（Ri）i=1 n是含有非零单位元的交换环族,M:=（M,j,）1≤i<j≤n是模族,使得对于（?）1≤i<j≤n,Mi,j是（R,i,Rj）-双模,且Ii是R的真理想,I:=（Ii）i=1 n是理想族.我们得出,Ii是Ri的（m,s）-闭理想（特殊地,半2-吸收理想）当且仅当Tn（I,M）是Tn（R,M）的2-吸收理想（m,s）-闭理想（特殊地,半2-吸收理想）.假定R:=（Ri）i=1 n是含有非零单位元的交换环族,M:=（Mi,j）1≤i<j≤n是模族,使得对于（?）1 ≤i<j≤n,Mi,j是（Ri,Rj）-双模,且Ii是Ri的真理想,I:=（Ii）i=1 n是理想族.我们得出,如果Tn（I,M）是Tn（R,M）的2-吸收理想（n-吸收理想）,那么Ii是Ri的2-吸收理想（m-吸收理想）;反之不成立.
论文目录
文章来源
类型: 硕士论文
作者: 张贝贝
导师: 潘升勇
关键词: 扩张,平凡扩张,吸收理想,闭理想
来源: 北京交通大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学
单位: 北京交通大学
分类号: O153.3
总页数: 49
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