几类非线性偏微分方程的若干精确解求解研究

论文摘要

众所周知,线性现象简单且容易理解,实际上,在客观世界中,非线性现象才是普遍存在的自然现象,如天气变化、股市波动、水波运动、粒子运动等。为了更加准确地描述这些非线性现象,科学家们对其进行数学建模,得到一系列关于非线性现象的非线性模型,通过对这些模型进行深入研究和分析,从而了解非线性现象的本质和规律。从数学的角度分析,依据非线性现象建立的模型是非线性方程,我们可以通过寻求方程的解来探究模型所刻画现象的内在规律。由于非线性现象涉及多个学科领域,对它们进行研究和分析,逐渐形成了一门全新学科,即非线性科学。近些年来,各界学者对非线性科学的研究有了新的突破,特别是在信息处理和生态环境等领域,非线性科学不但促进了不同学科之间的交叉融合,而且也加快了各学科的发展。本文的工作主要包括以下几个方面:首先概述了非线性科学的起源和发展,介绍了孤立波的发现及发展历程,介绍了符号计算软件Maple及其相关命令。其次,研究了几个非线性偏微分方程的求解方法,并将其归结为两类求解思想,基于每种思想,分别给出了具有代表性的求解方法。接着,对传统的（G’/G2）-展开法做了两个方面的改进,一是将解的幂级数的下限由零改为负数,二是将该方法扩展到三维及以上的非线性系统,得到了新的扩展的（G’/G2）-展开法,利用扩展的（G’/G2）-展开法求解了 BBM方程和（2+1）维BBM方程,从解的形式上分析,得到了三种不同类型的精确解,当取双曲函数通解中的常数为特殊值时,得到了其钟形和反钟形孤立波解。最后,利用指数函数法求解了具有重要物理意义的正则长波方程（RLW方程）和KdV-Burgers方程,得到了方程的孤立波解。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 非线性科学的研究背景与意义
•     1.1.1 从线性科学到非线性科学
•     1.1.2 非线性科学的研究意义
•   1.2 孤立波及其发展
•   1.3 符号计算系统
•   1.4 论文章节安排
• 第二章 非线性偏微分方程及其求解方法
•   2.1 非线性偏微分方程
•   2.2 非线性偏微分方程精确解研究现状
•   2.3 非线性偏微分方程求解方法
•     2.3.1 基于经验的精确解的假设求解方法
•     2.3.2 基于非线性变换的精确解求解方法
•   2.4 本章小结
• 2）-展开法'>第三章 求解非线性模型的扩展的（G'/G²）-展开法
• 2）-展开法'>  3.1 扩展的（G'/G²）-展开法
•   3.2 BBM方程的精确解
•   3.3 （2+1）维BBM方程的精确解
•   3.4 本章小结
• 第四章 指数函数法及其应用
•   4.1 指数函数法
•   4.2 正则长波方程的精确解
•   4.3 KdV-Burgers方程的精确解
•   4.4 本章小结
• 第五章 总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读硕士学位期间的研究成果

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 胡凯丽

导师: 姚若侠

关键词: 非线性偏微分方程,方程,维方程,展开法,扩展的,精确解

来源: 陕西师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 陕西师范大学

分类号: O175.2

DOI: 10.27292/d.cnki.gsxfu.2019.000019

总页数: 58

文件大小: 2855K

下载量: 33