关于贻贝-藻类反应扩散模型的动力学行为研究

论文摘要

生活在软质沉积物上的贻贝主要以藻类为食物来源,它们是贻贝床生态系统的主要组成部分。贻贝本身具有很高的经济和营养价值,同时贻贝床生态系统非常适合模式形成的研究。因此,建立相关数学模型并研究其动力学性质是必要的,可以为预防贻贝床生态系统的坍塌提供理论支撑,具有非常重要的实际意义。本文主要对两类带有不同贻贝死亡率的贻贝-藻类反应扩散模型的动力学性质进行了研究,包括稳定性,分支以及稳态解问题。对于第一类模型,我们从分支角度重点考虑了Hopf分支以及Turing-Hopf分支;对于第二类模型,利用椭圆方程的正则性估计和Leray-Schauder度理论着重研究了非常值稳态解的存在和不存在性。具体研究工作如下:（一）首先考察具时滞的第一类模型。考虑到贻贝在捕食藻类后需要一定的时间才能将其转化为自身的生物量,所以我们在模型中加入滞量,研究时滞对系统动力学行为的影响。当时滞为零时,利用上下解方法给出了系统非负解的存在唯一性,并根据相图法在一定条件下建立了贻贝和藻类密度的先验估计,得到了半平凡稳态解的全局渐近稳定性。在空间一维的条件下,研究了常值正稳态解的局部稳定性和Hopf分支。当时滞大于零时,重点研究了系统在常值正稳态解处由时滞诱导的Hopf分支,并利用偏泛函微分方程的中心流形理论和规范型方法给出了分支周期解的方向及稳定性。最后通过数值模拟来说明理论分析的结果。（二）继续考察具时滞的第一类模型。贻贝的聚集效应在空间大尺度上呈现规则的带状斑图,从分支角度我们研究了其空间异质分布的潜在机理。首先根据具时滞的混拟单调系统上下解的方法证明了系统非负解的存在唯一性。在限定空间一维和Neumann边界条件下,通过特征方程根的分布讨论了常值正稳态解的稳定性以及Turing分支和Turing-Hopf分支,并研究了Turing-Hopf奇点处的动力学分类。在给定参数条件下,发现了稳态共存现象:在Turing-Hopf奇点某邻域内,空间齐次的周期解和空间非齐次的稳态解共存,演化过程中出现空间非齐次周期解只是一种“暂态”,虽然这种状态可能会持续一段时间,但是最终它将收敛到上述的两种稳态之一。在空间一维条件下,我们从分支角度对空间大尺度上贻贝沿河床纵向呈规则带状分布给出了数学上的解释。（三）考察贻贝死亡率带有正负反馈作用的第二类模型。通过对贻贝-藻类在空间小尺度上的相互作用的细致分析,对第一类模型中贻贝的死亡率进行了修正。新的死亡率包含贻贝聚集作用对种群密度所带来的两种反馈控制,一种是与减少海浪冲击和被捕食相关的正反馈,一种是与增加种内对资源竞争相关的负反馈。这两种反馈的相互作用使得贻贝生物量不会高到一个不切实际的数值,解决了第一类模型中得不到贻贝生物量先验估计的问题。在齐次Neumann边界条件下,我们分别讨论了系统半平凡稳态解和常值正稳态解的全局稳定性,利用椭圆方程的正则性估计给出了非常值稳态解的先验估计,继而得到了非常值正稳态解的存在和不存在性。最后给出了与理论对应的模拟数值,得到的结果与野外避风潮间带上贻贝床系统呈现的迷宫状斑图十分类似,我们的研究成果从理论上给出了贻贝床生态系统空间小尺度上模式形成的数学解释。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
•   1.1 课题的研究背景和现状
•     1.1.1 偏泛函微分方程分支理论的研究现状
•     1.1.2 贻贝-藻类模型的研究背景及现状
•   1.2 本文的主要工作
• 第2章 具时滞的贻贝-藻类反应扩散模型的Hopf分支
•   2.1 前言
•   2.2 无时滞系统的动力学行为
•     2.2.1 非负解的存在唯一性
• 0的稳定性'>    2.2.2 E₀的稳定性
•     2.2.3 E*的稳定性及Hopf分支
•   2.3 由时滞诱导的Hopf分支
•   2.4 Hopf分支的方向及分支周期解的稳定性
•   2.5 数值模拟
•   2.6 本章小结
• 第3章 具时滞的贻贝-藻类反应扩散模型的Turing-Hopf分支
•   3.1 前言
•   3.2 非负解的存在性
•   3.3 稳定性和Turing-Hopf分析
•   3.4 Turing-Hopf分支的规范型
•   3.5 数值模拟
•     3.5.1 动力学分类
•     3.5.2 仿真
•   3.6 本章小结
• 第4章 带有正负反馈贻贝死亡率的贻贝-藻类模型的稳态斑图
•   4.1 前言
•   4.2 初步结果
•     4.2.1 正平衡点的存在唯一性
•     4.2.2 非负平衡点的稳定性
•   4.3 非常值正稳态解的不存在性
•   4.4 非常值正稳态解的存在性
•   4.5 分支及数值模拟
•     4.5.1 分支
•     4.5.2 数值模拟
•   4.6 本章小节
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果
• 致谢
• 个人简历

文章来源

类型: 博士论文

作者: 申作林

导师: 魏俊杰,王春程

关键词: 贻贝藻类模型,时滞,分支,稳态解

来源: 哈尔滨工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,生物学

单位: 哈尔滨工业大学

分类号: Q141;O175

DOI: 10.27061/d.cnki.ghgdu.2019.005230

总页数: 117

文件大小: 9782k