三类二阶有理差分方程的研究

论文摘要

差分方程是一种离散的数学模型,主要展现的是一种变化规律,而它的应用由来是源于现实生活中的一些问题,这些问题无法用微分方程或连续的函数进行计算解析,所以就需要将其离散化,而差分方程在离散方程中占据着重要地位,对于上述情况就突显了其优势.另外,随着近几年信息和科技的不断进步,差分方程的理论和方法逐渐完善,并且通过计算机对差分方程迭代模拟时速度变快,可以更有效的处理实际问题,而且可以直观地看出研究对象的变化规律,所以在各行各业的应用也越来越广泛,比如在经济学、生物学、医学等领域具有着重要意义.本文主要研究的是参数和初始值都是正实数的三类二阶有理差分方程的稳定性、吸引性、收敛性及周期性的相关问题,并给出了相应的结论及内容.本文共分为五章:第一章主要是介绍了有理差分方程的研究历史、背景及现状.第二章先是介绍了线性稳定性理论、“M&m”方法、庞加莱定理等本文所需的理论知识,然后讨论了如下的二阶差分方程xn+1=pxn+qxn-1/xn+xn-1,n=0,1,…,（0,1）其中参数和初始值皆为正实数.通过研究我们知道了方程（0.1）的平衡解是全局渐近稳定的,并得到了平衡解收敛的结论,最后通过数值分析作出图像验证了结论的正确性.第三章主要是对如下方程进行了研究xn+1=xn+pxn-1/qxn,n=0,1,…,（0,2）其中参数和初始值皆为正实数.在这章中根据线性稳定性的定理及“M&m”方法得到了当p<1时,方程（0.2）的平衡解是全局渐近稳定的,当p>1时,方程（0.2）的平衡解是不稳定的,而p=1时,方程（0.2）存在一个正2-周期解,并通过稳定子空间定理及线性稳定性定理证明了此2-周期解是不稳定的,最后通过Matlab数值分析作出图像验证了结论的正确性.第四章主要是对如下方程进行了研究xn+1=axn/（1+xn）xn-1，n=0,1…，这里的参数和初始值也为正实数.在这章中根据线性稳定性定理得到了方程的平衡解是不稳定的,再由“M&m”方法证明了其平衡解是一个全局吸引子,接下来通过研究发现了方程（0.3）存在一个正5-周期解,并且其周期解随初始值改变而变化,最后通过Matlab数值分析作出图像验证了结论的正确性.第五章主要是对本文进行了全方面的总结并给出了一些期望.

论文目录

• 摘要
• abstract
• 1 绪论
•   1.1 差分方程简介
•     1.1.1 基本概念
•     1.1.2 基本理论
•   1.2 国内外研究现状
•   1.3 本文结构安排
• n+1=(Px_n+qx_n-1)/(x_n+x_n-1)的研究'>2 关于差分方程x_n+1=(Px_n+qx_n-1)/(x_n+x_n-1)的研究
•   2.1 预备知识
•   2.2 平衡点的稳定性
•   2.3 方程的收敛速度
•   2.4 数值模拟
• n+1=x_n+px_n-1)/qx_n的研究'>3 关于差分方程(x_n+1=x_n+px_n-1)/qx_n的研究
•   3.1 平衡点的稳定性
•   3.2 方程的收敛速度
•   3.3 二周期解的存在性及稳定性
•   3.4 数值模拟
• n+1=αx_n)/(（1+x_n）x_n-1)的研究'>4 关于差分方程(x_n+1=αx_n)/(（1+x_n）x_n-1)的研究
•   4.1 平衡点的稳定性
•   4.2 平衡点的吸引性
•   4.3 正5-周期解的存在性
•   4.4 数值模拟
• 5 总结
• 参考文献
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 王媛媛

导师: 黄庆道

关键词: 差分方程,平衡解,收敛速度,全局渐近稳定,吸引性,周期性

来源: 吉林大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 吉林大学

分类号: O175

总页数: 70

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