关于球面浸入子流形的相关问题研究

论文摘要

球面浸入子流形是子流形几何中一类重要的研究对象,被几何学者广泛研究.本论文将分别研究复射影空间CPn中等变极小3-维球面S3的分类问题,齐性近凯勒流形S6中Lagrange子流形的刚性问题（Berger球面的特征刻画）和Sasaki空间形式中Legendre子流形的刚性问题（切触Whitney球面的特征刻画）.主要结果如下:第一,研究了S3到CPn的等变CR极小浸入.在没有常曲率这个假设条件下,利用等变条件可知S3上的诱导度量是左不变的,并且它的所有几何性质都可以通过李代数su（2）的结构常数表示出来.结果,我们得到了S3到CPn的等变CR极小浸入的分类定理（见定理1.4）.第二,研究了S3到CPn的等变极小浸入.在满足额外条件（?xF）X=0,?X∈kerF（定义见（1.1.4））下,我们完全分类这种浸入的子流形（见定理1.7）.我们的分类定理覆盖了定理1.5的结果.进一步,我们还构造了S3到CP3的等变非极小浸入的例子,它满足（?xF）X=0且既不是Lagrangian也不是CR型.第三,得到了S6中紧致Lagrange子流形的刚性定理.我们建立了关于该子流形的Simons型积分不等式,并证明其等号成立当且仅当Lagrange子流形是全测地的3（1）,或者是Dillen-Verstraelen-Vrancken的Berger球面S3（见定理1.14）.这给出了近凯勒S6中两类Lagrange球面新的特征刻画.第四,得到了Sasaki空间形式中Legendre子流形的刚性定理.我们建立了关于该子流形平均曲率向量和数量曲率之间的一个逐点不等式,并且分类了等号成立时的Legendre子流形（见定理6.21）.更深一步的结果,我们建立了关于该子流形第二基本形式协变导数的模长平方和平均曲率向量协变导数的模长平方之间的最佳不等式,并且分类了等号成立时的Legendre子流形（见定理1.17）.最后,我们得到了Sasaki空间形式中切触Whitney球面的特征刻画。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 概述
•   1.1 研究背景和主要结果
• n中的极小3-维球面'>    1.1.1 复射影空间CPⁿ中的极小3-维球面
• 6中Berger球面的特征刻画'>    1.1.2 齐性近凯勒流形S⁶中Berger球面的特征刻画
•     1.1.3 Sasaki空间形式中切触Whitney球面的特征刻画
•   1.2 内容结构安排
•   1.3 主要符号说明
• 第二章 预备知识和基本结论
• m到CPⁿ的等距浸入'>  2.1 球面S^m到CPⁿ的等距浸入
• n的切丛'>    2.1.1 CP_n的切丛
• m到CPⁿ的等距浸入'>    2.1.2 S^m到CPⁿ的等距浸入
• 3'>    2.1.3 李群S³
• 3上的拉普拉斯算子'>    2.1.4 S³上的拉普拉斯算子
• 6及其Lagrange子流形'>  2.2 近凯勒流形S⁶及其Lagrange子流形
• 6'>    2.2.1 近凯勒流形S⁶
• 6中的Lagrange子流形'>    2.2.2 近凯勒流形S⁶中的Lagrange子流形
•   2.3 Sasaki空间形式及其Legendre子流形
•     2.3.1 切触流形
• 2n+1（c）'>    2.3.2 Sasaki空间形式N²ⁿ⁺¹（c）
• 2n+1（c）中的Legendre子流形'>    2.3.3 N²ⁿ⁺¹（c）中的Legendre子流形
• 3到CPⁿ的等变CR极小浸入'>第三章 S³到CPⁿ的等变CR极小浸入
• 3及其标准结构'>  3.1 李群S³及其标准结构
• 3上的标准度量'>    3.1.1 S³上的标准度量
•     3.1.2 李代数su（2）的结构常数
• 3上的Berger度量'>    3.1.3 S³上的Berger度量
• 3上左不变度量的曲率'>    3.1.4 S³上左不变度量的曲率
• 3到CPⁿ的等变CR浸入'>  3.2 S³到CPⁿ的等变CR浸入
• 3→CPⁿ的基本公式'>    3.2.1 等变CR浸入 φ;S³→CPⁿ的基本公式
•     3.2.2 等变CR浸入的不变性
•     3.2.3 Gauss-Weingarten公式
•     3.2.4 Gauss-Codazzi方程
• 3到CPⁿ的等变CR极小浸入'>  3.3 S³到CPⁿ的等变CR极小浸入
•   3.4 等变CR极小浸入的存在性
•     3.4.1 等变CR极小非Berger球面的存在性
•     3.4.2 等变CR极小Berger球面的存在性
•   3.5 等变CR极小浸入的唯一性
• 3到CPⁿ的等变极小浸入'>第四章 S³到CPⁿ的等变极小浸入
• 3→CP³的基本公式'>  4.1 等变浸入 φ:S³→CP³的基本公式
• 3到CPⁿ的等变浸入'>    4.1.1 S³到CPⁿ的等变浸入
• 3→CP³满足0< |F|²<2'>    4.1.2 等变浸入 φ:S³→CP³满足0< |F|²<2
• 3→CP³满足（?xF）X=0'>    4.1.3 等变浸入 φ:S³→CP³满足（?xF）X=0
•   4.2 定理4.1 的证明
•   4.3 一个等变浸入的典型例子
• 6（1）中 Lagrange子流形的刚性定理'>第五章 齐性近凯勒流形S⁶（1）中 Lagrange子流形的刚性定理
• 6（1）中 Dillen-Verstraelen-Vrancken的 Berger球面'>  5.1 S⁶（1）中 Dillen-Verstraelen-Vrancken的 Berger球面
•   5.2 主要引理和相关公式
•   5.3 定理5.1和5.3 的证明
• 第六章 与Sasaki空间形式中切触Whitney球面刻画相关的最佳不等式
•   6.1 关于协变导数的不等式和引理
•     6.1.1 命题6.15 的证明
•     6.1.2 命题6.16 的证明
•   6.2 定理6.1 的证明
•   6.3 切触Whitney球面和基本不等式
• 第七章 结论与展望
•   7.1 本文的主要工作
•   7.2 进一步的研究课题
• 参考文献
• 基金资助
• 个人简历和学术成果
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 尹佳斌

导师: 胡泽军

关键词: 复射影空间,近凯勒,空间形式,球面,等变,极小,子流形

来源: 郑州大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 郑州大学

基金: 国家自然科学基金(11371330,11771404)

分类号: O186.12

总页数: 125

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