几类典型生物系统的动力学建模与分析

论文摘要

数学生物学是以数学方法研究生物问题而形成的交叉学科。它主要针对与生物学有关的数学方法进行理论和应用研究。数学生物学研究为生物学研究提供了一种新的有用的工具。数学生物学的一个重要方向是生物系统动力学建模与分析,即对生物系统中各变量之间的关系使用微分方程等数学方法来建立数学模型,并通过模型来对生物系统进行数值仿真和动力学分析。这一方法的优势是通过理论分析和数值模拟来代替实际复杂的甚至无法实现的生物实验,能够极大的减少成本,提高研究效率。本文以数学生物学为背景,研究了几类典型生物系统的动力学建模与分析问题。具体研究工作包括:首先,针对乙肝病毒（HBV）建模问题,考虑到乙肝病毒感染健康的肝脏细胞时,人体免疫系统产生免疫反应不是瞬时的,而是需要一定的时间,提出一个基于时滞微分方程组的乙肝病毒动力学模型。该模型不仅考虑了免疫系统的延迟响应和免疫系统对感染细胞和病毒的清除作用,还加入了潜伏期状态和肝脏细胞的增殖。接下来,讨论了乙肝病毒的无病平衡点,无免疫响应平衡点和有病平衡点的存在性,并分析了无病平衡点和无免疫响应平衡点的全局渐近稳定性以及有病平衡点的局部渐近稳定性和Hopf分支。进一步地,研究了有病平衡点分支的周期解的稳定性。此外,通过数值模拟验证了理论结果,并进一步验证一些因素（比如时滞,免疫系统对感染细胞和病毒的响应,肝脏细胞的增殖）对模型动力学特性的影响。其次,考虑到乙肝病毒感染过程中病人容易受外部的环境噪声或者身体内部的随机扰动的影响这一问题,研究了一类具有时滞免疫响应的病毒感染的随机动力学模型。基于该模型,研究了噪声如何影响病毒感染的动力学特性,证明了模型的解的存在性和唯一性,并求得疾病灭绝和持续存在的充分条件。此外,通过一系列的数值模拟验证了上述理论结果的正确性,并且通过数值模拟发现了比得到的理论结果更加有趣的结果。例如,当基本再生数大于1且满足一定约束条件时,小的噪声扰动可能导致系统的解渐近稳定的周期解,而相应的确定性系统的解会收敛到平衡点。然而,当扰动的强度非常大时,随机系统的渐近稳定的周期解会被破坏,并且变得不稳定。当确定性系统和随机系统的基本再生数都大于1且满足一定的约束条件时,发现疾病在确定性系统会持续存在,但是在随机系统,由于噪声的影响,疾病最终会消失。再次,针对基于Delta-Notch信号通路的果蝇大肠边界细胞形成的问题,提出了一类果蝇大肠边界细胞形成的高维动力学模型。该高维动力学模型中所有的细胞整齐的排列在一个M?N的晶格上,每个细胞都表示为一个六边形,且至多有六个相邻的细胞,即共考虑NC（28）M?N/2个细胞。对于高维数学模型,由于无法进行理论分析,因此首先只考虑两个细胞的模型,研究了其平衡点和局部渐近稳定性。接下来,通过数值模拟的方法研究高维数学模型中参数的灵敏度和扰动分析,得到模型中灵敏度较高的参数,并通过选择合适的参数,得到了和实验现象一致的结果。最后,针对小鼠活动次数的一维时间序列,提出了基于相空间重构的方法来分析不同程度卡路里限制的条件下小鼠的行为变化。对每组的每只小鼠进行相空间重构,并划分为10个阶段,得到每只小鼠从阶段1到阶段10的吸引子。进一步,计算了每只小鼠从阶段1到阶段10的吸引子的不变量（关联维数和Kolmogorov熵）和体积,绘制相应的三维空间相图,来探究在不同程度卡路里限制的条件下每组小鼠从阶段1到阶段10的吸引子特征的变化,并预测未来发展趋势。通过对传染病病毒感染的生物系统的动力学建模与分析问题的研究,能够帮助临床医生了解疾病的感染机制和过程,为疾病的治疗提供可靠的指导和依据;基于Delta-Notch信号通路对果蝇大肠边界细胞的形成的研究能够更深入了解模式生物发育的机理;对小鼠活动次数的研究能够更深入了解不同卡路里限制条件下小鼠行为变化。本文的研究工作为数学生物学研究领域提供了新的方法和应用案例,对促进该领域的发展具有积极的意义。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
•   1.1 课题背景及研究意义
•   1.2 国内外研究现状综述与分析
•     1.2.1 传染病病毒感染建模与分析中的应用研究现状
•     1.2.2 果蝇大肠边界细胞形成的建模研究现状
•     1.2.3 卡路里限制条件下小鼠行为分析的研究现状
•   1.3 问题小结
•   1.4 论文的研究内容与组织结构
• 第2章 考虑潜伏期和时滞免疫响应的乙肝病毒动力学模型
•   2.1 引言
•   2.2 乙肝病毒感染的数学模型
•     2.2.1 解的非负性和有界性
•     2.2.2 平衡点
•   2.3 平衡点分析
•     2.3.1 无病平衡点和无免疫响应平衡点的全局稳定性分析
•     2.3.2 正平衡点的局部渐近稳定性和Hopf分支
•   2.4 周期解的稳定性
•     2.4.1 系统的泛函微分方程表示
•     2.4.2 Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性
•   2.5 数值仿真和讨论
•     2.5.1 Hopf分支和周期解的稳定性
•     2.5.2 免疫响应作用于感染细胞对病毒感染动力学的影响
•     2.5.3 免疫响应作用于游离病毒对病毒感染动力学的影响
•     2.5.4 肝脏细胞的增殖对病毒感染动力学影响
•   2.6 本章小结
• 第3章 具有时滞免疫响应的病毒感染随机动力学模型
•   3.1 引言
•   3.2 正解的存在性和唯一性
•   3.3 疾病灭绝的充分条件
•     3.3.1 引理
•     3.3.2 疾病灭绝的充分条件
•   3.4 疾病持续存在的充分条件
•   3.5 数值模拟和讨论
•     3.5.1 基本再生数小于1 时不同的噪声强度的影响
•     3.5.2 基本再生数大于1 且条件（3-14）满足时不同噪声强度的影响
•     3.5.3 基本再生数大于1 且条件（3-15）满足时不同噪声强度的影响
•   3.6 本章小结
• 第4章 果蝇大肠边界细胞形成的建模与分析
•   4.1 引言
•   4.2 方法
•     4.2.1 果蝇大肠边界细胞的形成
•     4.2.2 数学模型
•     4.2.3 仿真和分析方法
•   4.3 结果和讨论
•     4.3.1 局部稳定性分析
•     4.3.2 确定性系统的模拟结果
•     4.3.3 Delta和 Notch蛋白质表达的改变导致表现型的改变
•     4.3.4 带有噪声的Notch蛋白质的表达
•     4.3.5 结合参数和抑制参数的扰动对边界细胞形成的影响
•   4.4 本章小结
• 第5章 卡路里限制条件下小鼠的行为分析及模型预测
•   5.1 引言
•   5.2 材料和方法
•     5.2.1 整体设计和原理
•     5.2.2 基于相空间重构的数学建模
•     5.2.3 吸引子的关联维数和Kolmogorov熵
•     5.2.4 基于Volterra自适应模型预测时间序列
•   5.3 结果
•     5.3.1 时域内小鼠活动次数分析
•     5.3.2 相空间重构和吸引子
•     5.3.3 每组小鼠吸引子的特征
•     5.3.4 基于Volterra自适应滤波器预测活动次数
•   5.4 讨论
•     5.4.1 相空间重构与传统时间序列分析对比
•     5.4.2 吸引子对小鼠在卡路里限制下的行为提供了更深层次的解释
•   5.5 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的论文及其它成果
• 致谢
• 个人简历

文章来源

类型: 博士论文

作者: 孙德顺

导师: 刘飞,遆晓光

关键词: 数学生物学,动力学建模与分析,乙肝病毒,时滞微分方程,随机微分方程,信号通路,相空间重构

来源: 哈尔滨工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,生物学

单位: 哈尔滨工业大学

分类号: O175;Q-332

DOI: 10.27061/d.cnki.ghgdu.2019.000405

总页数: 159

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