有限维Hopf代数的若干分类

论文摘要

本文主要研究代数闭域上的有限维Hopf代数的分类问题,分为两个部分:第一部分致力于特征非零的代数闭域上的有限维点Hopf代数的构造和分类;第二部分主要致力于特征为零的代数闭域上的不具有对偶Chevalley性质的有限维Hopf代数的构造和分类.本文第一部分,应用提升方法和余代数的Hochschild上同调的思想,首先给出了基域特征是p的pq,p2q,4p,2q2,pqr维点Hopf代数的完整分类,其中p,q,r是互不相同的素数.本文也给出了由余根基滤过第一项生成的pq2维点Hopf代数的完整分类,并证明了不由余根基滤过第一项生成的pq2维点Hopf代数一定是q2维Taft代数通过p维限制泛包络代数的Hopf代数扩张.然后,本文构造了许多维数可以分解为至少4个素因子的点Hopf代数的例子.特别地,本文完成了基域特征为2的由余根基滤过第一项生成的或无穷小辫子对象维数为1的16维非连通点Hopf代数的分类.事实证明,在同构的意义下,pqr和p2q维点Hopf代数以及由余根基滤过第一项生成的pq2维点Hopf代数的个数是有限的,而pn（n>2）维点Hopf代数的个数是无限的.特别地,在同构的意义下,本文得到了一些非Nichols代数的辫子Hopf代数和无限多个非交换非余交换的有限维点Hopf代数的新例子.本文第二部分,应用广义提升方法的思想,首先研究了基域特征为零的以一个4p维非点的基本Hopf代数Hp,-1为Hopf余根基,即Hp,-1上的有限维Hopf代数的分类问题,其中p是任意的正整数.Hopf代数Hp,1不具有对偶Chevalley性质,即它的余根基不是一个子代数.特别地,如果p是一个素数,那么在同构的意义下,Hp,-1是唯一的4p维非点的基本Hopf代数[29,37].考虑Hopf代数Hp,-1cop的Drinfeld double D（Hp,-p1）.我们决定了D(Hp-D(H的投射类环的结构和代数表示型.如果p=2,那么D（Hp-p1）是tame表示型,否则它是wild型的.然后,通过辫子范畴等价Hp,-1Hp,-1yD（?）D（Hp,-1cop）,本文决定了范畴Hp,-1Hp,-1yD的单对象和不可分解的投射对象以及它们的辫子矩阵.p在假设p是素数的前提下,本文决定了范畴Hp,-1Hp,-1yD中所有的有限维Nichols代数.它们都是非对角型的.除此之外,在去掉p是素数的条件后,本文构造了更多有限维非对角型的Nichols代数的例子并给出了它们具体的定义关系式.通过计算范畴Hp,-1Hp,-1yD中Nichols代数的提升,本文构造了数族Hp,1上的有限维Hopf代数.特别地,本文给出了Hp,-1上的图存在非平凡二次关系式且无穷小辫子对象是范畴Hp,-1Hp,-1yD的不可分解对象的有限维Hopf代数的分类,并证明了如果p是大于5的素数,那么Hp,1上的有限维Hopf代数都是基本的.也给出了H2,-1或H3,-1上的无穷小辫子对象是不可分解对象的有限维Hopf代数的分类.此外,本文还给出了一些16和24维非点的基本Hopf代数上的无穷小辫子对象是不可分解对象的有限维Hopf代数的分类.特别地,本文得到了许多非对角型的Nichols代数和许多族不具有对偶Chevalley性质的有限维Hopf代数的新例子.

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 引言
•   0.1 研究背景
•     0.1.1 给定维数的Hopf代数的分类
•     0.1.2 广义提升方法
•     0.1.3 余代数的Hochschild上同调
•   0.2 本文的主要工作
•   0.3 符号约定和基本定义
•     0.3.1 q-多项式系数
•     0.3.2 余代数和Hopf代数
•     0.3.3 Yetter-Drinfeld模和玻色化
•     0.3.4 Hopf上2圈形变
•     0.3.5 辫子向量空间和Nichols代数
• 2和pq维点Hopf代数'>第一章 p²和pq维点Hopf代数
•   1.1 Hochschild上同调
•   1.2 几个命题和引理
• 2维点Hopf代数'>  1.3 p²维点Hopf代数
•   1.4 pq维点Hopf代数
• 2q维点Hopf代数'>第二章 p²q维点Hopf代数
• 2q维点Hopf代数'>  2.1 图是Nichols代数的p²q维点Hopf代数
• 2q维点Hopf代数'>  2.2 图非Nichols代数的p²q维点Hopf代数
• 2和pqr维点Hopf代数'>第三章 pq²和pqr维点Hopf代数
• 2维点Hopf代数'>  3.1 图是Nichols代数的pq²维点Hopf代数
• 2维点Hopf代数'>  3.2 图非Nichols代数的pq²维点Hopf代数
•   3.3 pqr维点Hopf代数
• 第四章 16维非连通点Hopf代数
•   4.1 图是Nichols代数的16维非连通点Hopf代数
•   4.2 图非Nichols代数的16维非连通点Hopf代数
• 第五章 分裂对角型Nichols代数
•   5.1 对角型Nichols代数
•     5.1.1 Nichols代数的PBW基
•     5.1.2 对角型Nichols代数的定义关系式
•   5.2 分裂Nichols代数
•   5.3 分裂对角型Nichols代数
• n,n≥2'>    5.3.1 标准型A_n,n≥2
• n,n≥2'>    5.3.2 标准型B_n,n≥2
• 2'>    5.3.3 标准型G₂
• p,-1上的有限维Hopf代数'>第六章 H_p,-1上的有限维Hopf代数
• p,-1和Drinfeld double D(H_p,-1^cop)'>  6.1 Hopf代数H_p,-1和Drinfeld double D(H_p,-1^cop)
• p,-1^cop)M'>  6.2 范畴D(H_p,-1^cop)M
• p,-1H_p,-1yD'>  6.3 范畴H_p,-1H_p,-1yD
• p,-1grA_p,-1yD'>  6.4 范畴grA_p,-1grA_p,-1yD
• p,-1H_p,-1yD中非单不可分解对象上的Nichols代数'>  6.5 范畴H_p,-1H_p,-1yD中非单不可分解对象上的Nichols代数
• p,-1H_p,-1yD中半单对象上的Nichols代数'>  6.6 范畴H_p,-1H_p,-1yD中半单对象上的Nichols代数
• p,-1上的Hopf代数'>  6.7 H_p,-1上的Hopf代数
• p,-1H_p,-1yD中Nichols代数的定义关系式'>    6.7.1 范畴H_p,-1H_p,-1yD中Nichols代数的定义关系式
• p,-1H_p,-1yD中Nichols代数的提升'>    6.7.2 关于范畴H_p,-1H_p,-1yD中Nichols代数的提升
• 第七章 关于16维基本Hopf代数上的有限维Hopf代数
• 16,1上的有限维Hopf代数'>  7.1 关于K_16,1上的有限维Hopf代数
• 16,1及Drinfeld double D(K_16,1^cop)'>    7.1.1 Hopf代数K_16,1及Drinfeld double D(K_16,1^cop)
• κ_16,1^copM'>    7.1.2 范畴D_κ16,1^copM
• 16,1κ_16,1D中的Nichols代数'>    7.1.3 范畴κ_16,1κ_16,1D中的Nichols代数
• 16,1上的Hopf代数'>    7.1.4 关于κ_16,1上的Hopf代数
• 16,2上的有限维Hopf代数'>  7.2 关于κ_16,2上的有限维Hopf代数
• 16,2κ_16,2yD中有限维Nichols代数'>    7.2.1 范畴κ_16,2κ_16,2yD中有限维Nichols代数
• 16,2上的Hopf代数'>    7.2.2 κ_16,2上的Hopf代数
• 第八章 关于24维基本Hopf代数上的有限维Hopf代数
•   8.1 24维点Hopf代数
• 24,1上的有限维Hopf代数'>  8.2 关于κ_24,1上的有限维Hopf代数
• 24,1和Drinfeld double D(κ_24,1^cop)'>    8.2.1 Hopf代数κ_24,1和Drinfeld double D(κ_24,1^cop)
• 24,1κ_24,1yD'>    8.2.2 范畴κ_24,1κ_24,1yD
• 24,1κ_24,1yD中Nichols代数'>    8.2.3 范畴κ_24,1κ_24,1yD中Nichols代数
• 24,1上的Hopf代数'>    8.2.4 关于κ_24,1上的Hopf代数
• 参考文献
• 作者简历及在学期间所取得的科研成果
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 熊荣川

导师: 胡乃红

关键词: 代数,提升方法,上同调

来源: 华东师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 华东师范大学

分类号: O153

总页数: 354

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